Nullstellen berechnen – Beispiele, Erklärung & Formeln

Um die Berechnung von Nullstellen kommt kaum ein Schüler in Deutschland vorbei. Jedoch ist der Unmut der meisten Schüler bei diesem Thema vollkommen unbegründet. Wurde das Grundprinzip einmal verstanden, zeigt sich die Berechnung als ausgesprochen einfach.

Wichtig ist es hierbei zu unterscheiden, zwischen linearen und quadratischen Funktionen. Doch wie die Nullstellen genau berechnet werden können, soll im Folgenden einfach und verständlich erklärt werden.

Durch die Position der Nullstelle oder der Nullstellen kann der Verlauf einer Funktion beschrieben werden. Es handelt sich dabei um genau den Punkt, an dem der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. Je nachdem um was für eine Funktion es sich handelt, können entweder überhaupt keine Nullstellen oder mehrere Nullstellen vorliegen.

Die Nullstellenberechnung bei einer linearen Funktion

Noch einmal kurz zur Wiederholung: eine lineare Funktion ist eine Funktion, die über keine quadratische Komponente (x^2) verfügt. Diese Funktion wird dann als Gerade bezeichnet. Es wird dabei immer die folgende Formen eingehalten: f(x) = y = mx + b

• – Dabei ist f(x) die Funktion an sich.
• – Der Faktor m steht für die Steigung. Diese gibt an, wie die Gerade verläuft. Die Steigung kann sowohl positiv sein, in diesem Fall hat sie kein Vorzeichen oder sie kann auch negativ sein, dann muss das m mit einem Minus versehen werden.
• – Das b symbolisiert den y-Achsenabschnitt. Dabei handelt es sich um genau den Punkt, an dem die Gerade die Y-Achse schneidet. Auch dieser Teil der Funktion kann sowohl positiv, als auch negativ sein.
• – Das x bildet die Variable.

Lineare Funktion wären also beispielsweise:

f(x) = y = 6x + 1
f(x) = y = 5x
f(x) = y = -3x + 3

Jetzt soll es um die eigentliche Berechnung der Nullstellen gehen. Dafür wird wie folgt vorgegangen:
Das y wird gleich Null gesetzt. Was vielen Schülern schwer fällt, ist eigentlich ganz einfach. Dafür muss nur die bereits bekannte Funktion genommen werden und an die Stelle, an der das Y oder alternativ das f(x) steht, eine Null eingesetzt werden. Für die eben angeführten Beispielfunktionen sähe das dann so aus:

0= 6x + 1
0= 12x – 6
0 = 5x
0= -3x + 3

Normalerweise steht die Null auf der rechten Seite, die doch wird sie in diesem Beispiel links positioniert, um das Vorgehen besser zu verdeutlichen. Sie kann jedoch ebenso gut rechts positioniert werden, das Ergebnis bleibt davon unbeeinflusst.

Wurde die Funktion gleich Null gesetzt, muss diese jetzt nach x umgestellt werden. Ziel ist es also, dass das x alleine auf der einen Seite steht. Alle anderen Zahlen der Funktion stehen dann auf der anderen Seite.
Das soll an der bereits nullgesetzten Funktion 0= -3x + 3 verdeutlicht werden.

Als erstes sollte immer diejenige Zahl behandelt werden, die an die Funktion nur durch ein Plus oder Minus gebunden ist. Sie wird als erstes auf die andere Seite gezogen. Im Beispiel wird die +3 also nach links wandern.

-3= -3x

Jetzt muss, damit das x alleine steht, nur noch durch den Faktor vor dem x geteilt werden. In diesem Fall muss also durch -3 geteilt werden.

-3/-3 = x

Der Bruch -3/-3 ist nichts anderes, als -1.

-1= x

Die Nullstelle der Funktion f(x) = y = -3x + 3 liegt also bei -1.

Um nun einen Punkt auf der x-Achse lokalisieren zu können, auf dem die Nullstelle liegt, wird natürlich auch ein Wert für die y-Koordinate benötigt. Viele Schüler beginnen nun aufwendige Rechnungen, um diesen heraus zu bekommen. Das ist jedoch gar nicht nötig. Das y wurde ja bereits im ersten Schritt Null gesetzt. Rein grafisch ist das zu erklären, da die Nullstelle auf der x-Achse liegt. Der y-Wert muss somit zwingend Null sein.

Die vollständige Nullstelle lautet damit (-1/0).

Die Berechnung der Nullstelle bei einer quadratischen Funktion

Jetzt wird das ein bisschen anspruchsvoller, jedoch sollte auch die Berechnung bei einer quadratischen Funktion keinerlei Probleme verursachen, wenn immer nach dem gleichen Schritten vorgegangen wird.
Bei einer quadratischen Funktion ist immer ein x^2 enthalten. Die Funktionen muss deshalb mehr, als nur eine Nullstelle haben. Das liegt daran, dass es sich hierbei nicht um eine Gerade handelt, sondern um einen Graph. Dieser ist somit nicht gerade (er kann nicht mit einem Lineal gezeichnet werden). Dadurch passiert es häufig, dass die Funktion gleich mehrmals die x-Achse schneidet und dann muss es natürlich auch mehr als eine Nullstelle geben.

Die Lösung einer quadratischen Funktion erfolgt mit der pq Formel. Was bei vielen Schülern Grund zur Panik auslöst, ist eigentlich nicht weiter schwer.

Die pq- Formel sieht wie folgt aus: f(x)= -p/2±√((p/2)^2-q)

Im Normalfall herrscht nun Ratlosigkeit, was mit dem p und dem q überhaupt angefangen werden soll, da keines der beiden in einer normalen quadratischen Formel enthalten ist.

• Schritt 1:
  Die quadratische Funktion muss zunächst in diese Form gebracht werden
  f(x)= x^2+px+q
  Im Anschluss wird die Funktion gleich Null gesetzt.
  x^2+px+q = 0
• Schritt 2:
  Nun kann das p und das q ganz einfach heraus gelesen werden. Dabei handelt es sich um einen einfachen Zahlenwert (beispielsweise 3, 5,6 und so weiter). Allerdings kann dieser auch negativ sein (-3,-5,-6). Das stört beim Einsetzen nicht. Das x^2 muss hingegen immer positiv sein. Ist vor dem x^2 noch ein Minus, muss mit -1 multipliziert werden. Erst im Anschluss dürfen die Werte für p und q eingesetzt werden, dass diese dann auch negativ sind, spielt keine Rolle.
• Schritt 3:
  Jetzt wird die Formel angewendet. Meistens ist dafür ein Taschenrechner erlaubt, jedoch ist die pq-Formel, bei geraden Werten für p und q auch nicht zu kompliziert, um sie im Kopf (Schritt für Schritt) zu berechnen.

Ein kurzes Beispiel

Wer bisher mit der Berechnung der Nullstellen, bei einer quadratischen Funktion seine Probleme hatte (und der aus diesem Grund vermutlich auch diese Seite aufgesucht hat), für den könnte diese Flut an Informationen nun etwas zu viel gewesen sein. Deshalb soll ein kleines Beispiel noch einmal das Vorgehen verdeutlichen.

2x^2+20x+19= 1
Funktion muss in richtige Form gebracht werden. Sie soll schließlich so: x^2+px+q = 0 aussehen. Als erstes wird die Funktion Null gesetzt. Dafür wird die 1 subtrahiert.
2x^2+20x+18= 0
Damit die gewünschte Form erreicht wird, muss jetzt die 2 vor dem x^2 verschwinden. Dafür wird durch 2 geteilt. Übrigens bleibt die Null auf der rechten Seite stehen (Null geteilt durch zwei ist nicht 1/2), denn egal durch welche Zahl die Null geteilt wird, es bleibt immer Null.
x^2+10x+9= 0
Eine Gegenüberstellung zeigt jetzt:
x^2+10x+9= 0
x^2+px+q = 0
Die Werte für p und q können ganz einfach abgelesen werden.
p= 10 und q= 9
Diese Werte werden nun in die pq-Formel eingesetzt
f(x)= -10/2±√((10/2)^2-9)

ACHTUNG: Wer bisher noch nicht mit der pq-Formel gearbeitet hat, muss jetzt eine Sache beachten: Vor der Wurzel steht ein Zeichen, das sowohl für Plus, als auch für Minus steht (±). Davon darf sich niemand verunsichern lassen. Die Formel wird einfach zwei Mal angewandt. Beim ersten Mal wird einfach so getan, als würde an der Stelle vor der Wurzel ein Plus(+) stehen. Bei zweiten Mal wird dementsprechend verfahren, als stände hier ein Minus (-). Damit müssen immer zwei Ergebnisse für die Nullstellen herauskommen.

Ergebnisse:
Nullstelle 1: x_1= -9
Nullstelle 2: x_2= -1

Vollständige Ergebnisse:
x_1(-9/0)
x_2( -1/0)