Eine Funktion ist eine Abhängigkeit von zwei Mengen. Der Funktionswert ist der y-Wert einer Funktion. Er kann anhand der Funktionsgleichung berechnet werden.
Was ist eine Funktion?
Eine Funktion beschreibt die Beziehung zwischen zwei Mengen, der Definitionsmenge und der Wertemenge. Dabei stellt die Definitionsmenge die x-Werte dar, welche wiederum die unabhängigen Variablen abbilden. Die Wertemenge wird durch die y-Werte beschrieben und ist die abhängige Variable.
Solche mathematischen Definitionen sind ziemlich abstrakt und oft nur schwer verständlich. Anhand eines Beispiels wird es schnell deutlicher: Ein Telefonbetreiber bietet einen Tarif an, bei dem jede angefangene Minute 0,05EUR kostet. Die Frage lautet, wie hoch nun die Telefonrechnung am Ende sein wird, je nachdem wie viel man telefoniert. In diesem Beispiel ist die Anzahl der Minuten die unabhängige Variable. Die Telefonrechnung ist die abhängige Variable. Die Höhe der Telefonrechnung ist abhängig davon, wie viele Minuten man telefoniert.
Jede Funktion kann in einem Koordinatensystem dargestellt werden, das eine x- und eine y-Achse besitzt. Dabei gibt es zu jedem x-Wert genau einen y-Wert, der immer klar zugeordnet werden kann und einen Punkt im Koordinatensystem darstellt. Umgekehrt können jedem y-Wert mehrere x-Werte zugeordnet sein. Wenn der Telefonbetreiber beispielsweise einen Tarif mit einer festen Gebühr von 20EUR monatlich anbietet, egal wie viele Minuten telefoniert werden, werden einem y-Wert viele x-Werte zugeordnet. Der y-Wert eines Monats beträgt für alle x-Werte 20.
Die Punkte einer Funktion zusammengenommen ergeben den Funktionsgraphen. Der y-Wert wird auch Funktionswert genannt. Um diesen Wert zu berechnen, braucht es die Funktionsgleichung. Diese Gleichung ist die zweite Möglichkeit, wie eine Funktion dargestellt werden kann. Mit ihrer Hilfe lässt sich zu jedem x-Wert der passende y-Wert berechnen.
Die Funktionsgleichung
Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion sieht so aus: y = kx + d. k steht für die Steigung der Funktion, also um wie viel der Funktionsgraph pro einem x steigt oder fällt. (0/d) ist der Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet. Diese beiden Werte sind essenziell für die Berechnung einer Funktion. Es gibt auch andere Funktionsgleichungen wie jene der quadratischen (y = ax2 + bx +c) oder einer Exponentialfunktion (y = ax). So unterschiedlich die Funktionsgleichungen aufgebaut sein mögen, eines ist doch bei allen gleich: das x und das y. Alle Gleichungen eint, dass ein Wert für x eingesetzt und anschließend der y-Wert berechnet werden kann.
Funktionswert bestimmen/berechnen
Manchmal kann der Funktionswert einfach vom Graphen abgelesen werden. Dabei ist allerdings Vorsicht geboten, denn es passieren oft Fehler und der abgelesene Wert ist ungenau. Das Ablesen funktioniert nur bei einer sehr offensichtlichen Skalierung der Achsen. Ansonsten sollte das Ablesen eher als Orientierungshilfe genutzt werden. Wenn man wissen möchte, welcher Funktionswert zu einem bestimmten x-Wert gehört, geht man zuerst entlang der x-Achse nach links oder rechts bis zum gewünschten x-Wert. Anschließend geht man nach oben oder unten entlang der y-Achse bis man den Funktionsgraphen erreicht. Nun schaut man, welchem Wert dieser Punkt auf der y-Achse entspricht. Dieser Wert ist der Funktionswert.
Viel genauer und zuverlässiger lässt sich der Funktionswert mit der Funktionsgleichung berechnen. Dazu wird der gewünschte x-Wert in die Gleichung eingesetzt und der y-Wert wird ausgerechnet.
Eine Funktionsgleichung mit y(x) = 4*x + 5 ist gegeben. Wenn man den Funktionswert zu x = 2 wissen möchte, setzt man den x-Wert in die Gleichung ein.
y(2) = 4*2 + 5
y(2) = 13
Der Funktionswert beträgt 13.
Als weiteres Beispiel ist die Gleichung der Parabel y(x) = 2x2 + 4x + 6 gegeben. Es ist wieder der Funktionswert zu x = 2 gesucht.
y(2) = 2*22 + 4*2 + 6
y(2) = 8 + 8 + 6
y(2) = 22
Der Funktionswert beträgt 22.
Der berechnete Funktionswert bzw. y-Wert kann nun, gemeinsam mit dem entsprechenden x-Wert, als Punkt im Koordinatensystem dargestellt werden: (x/y).
Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)
