Formeln umstellen X,Y,Z

Eine Formel ist ein Ausdruck in der Mathematik, der einen Sachzusammenhang zwischen verschiedenen Größen darstellt. Ein wichtiges Werkzeug ist dabei die sogenannte Äquivalenzumformung, die auf das Umstellen einer Gleichung abzielt. Sinn und Zweck dieser Umformung ist das Lösen eines mathematischen Problems.

Eine Formel ist ein Ausdruck in der Mathematik, der einen Sachzusammenhang zwischen verschiedenen Größen darstellt. Ein wichtiges Werkzeug ist dabei die sogenannte Äquivalenzumformung, die auf das Umstellen einer Gleichung abzielt. Sinn und Zweck dieser Umformung ist das Lösen eines mathematischen Problems.

Gleichungen, bestehend aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind, müssen umgestellt werden, um Variablen zu berechnen. Häufig werden dafür die Variablen x, y, z verwendet.

Regeln zur Gleichungsumstellung

  • beidseitige Durchführung des gleichen Rechenschritts
  • keine Teilung durch null möglich
  • Beachtung der Regel „Punkt vor Strich“ sowie der Vorzeichenregeln
  • Addition ist die Umkehrung der Subtraktion (und umgekehrt)
  • Multiplikation ist die Umkehrung der Division (und umgekehrt)
  • Umkehrung des Radizierens (Wurzelziehen) ist das Potenzieren (und umgekehrt)

Eine Gleichung kann wie folgt aussehen: 2 + x = 3

Das Ziel beim Lösen von Gleichungen ist immer, dass das x auf einer Seite der Gleichung alleine steht.
Umstellen lassen sich Gleichungen, indem man beispielsweise auf beiden Seiten die Terme addiert ( + ), subtrahiert ( – ), multipliziert ( · ), dividiert ( : ), radiziert ( Wurzelzeichen ) oder auch potenziert ( xn ).

Beispiel 1

Aufgabe: Lösen Sie die Gleichung nach x auf.

2 + x = 3

Lösung:

Auf der linken Seite steht eine Addition. Umgekehrt wird diese mit einer Subtraktion. Um links also die + 2 zu entfernen, muss man beidseitig – 2 rechnen.

2 + x = 3. | – 2
2 –2 + x = 3 – 2

Dementsprechend ergibt sich links: 2 – 2 = 0. Da das Ergebnis null beträgt, fällt dieser Teil weg. Übrig bleibt lediglich die Variable x. Auf der rechten Seite entsteht: 3 – 2 = 1.

Damit erhält man die Lösung: x = 1
Setzt man zur Überprüfung für das x die 1 in die Ausgangsgleichung ein, ergibt sich:

2 + 1 = 3
3 = 3

Folglich handelt es sich hier um eine wahre Aussage, die Gleichung ist gelöst.

Reihenfolge der Bearbeitung mehrerer Rechenoperationen

  1. addieren oder subtrahieren
  2. multiplizieren oder dividieren
  3. radizieren oder potenzieren

Ausnahmen ergeben sich bei Klammer-, Bruch- und Wurzelgleichungen (siehe Beispiel 4 + 5 + 6). Bei einer Klammergleichung wird der Vereinfachung halber entweder erst ausgeklammert oder ausmultipliziert. Handelt es sich um eine Bruchgleichung wird zuerst der Nenner multipliziert. Liegt eine Wurzelfunktion vor, bietet es sich an, als Erstes zu potenzieren.

Beispiel 2

3x – 2 = 2x | + 2
3x = 2x + 2 | – 2x
x = 2

Beispiel 3 Potenzgleichung

5x2 + 10 = 15 | – 10
5x2 = 5 | : 5
x2 = 1 | Wurzelzeichen
x = Wurzel aus (1)
x = 1

Beispiel 4 Klammergleichung

2x – 4 = 5 (x – 1) | ausmultiplizieren
2x – 4 = 5x – 5 | + 4
2x = 5x – 1 | – 5x
– 3x = – 1 | : (- 3)
x = 1/3

Beispiel 5 Bruchgleichung

(4 + x)/(x – 2) = 6 |· (x – 2)
4 + x = 6 (x – 2) | ausmultiplizieren
4 + x = 6x – 12 | – x
4 = 5x – 12 | + 12
16 = 5x | : 5
16/5 = x

Beispiel 6 Wurzelgleichung

Wurzel aus (5 + x) = 15 | ( )2
5 + x = 152 | – 5
x = 220

Satz vom Nullprodukt

Ein Produkt ist gleich null, wenn einer der Faktoren null ist.

Gegeben sei die Gleichung: 2 · x = 0

Die linke Seite besteht aus den Faktoren 2 und x. Aufgrund der Nullproduktregel muss entweder 2 gleich 0 oder x gleich 0 sein. Da 2 ungleich 0 ist, muss x gleich 0 sein. Folglich ist x = 0 die Lösung der Gleichung.

Rechnerisch ausgedrückt: 2 · x = 0 | : 2
x = 0

Komplexeres Beispiel:

x4 · (4x – 8) = 0

Anwendung der Nullproduktregel (einzelne Faktoren gleich null setzen):

x4 = 0 |vierte Wurzel
x = 0

4x – 8 = 0 | + 8
4x = 8 | : 4
x = 2

Weist eine Gleichung mehr als eine Variable auf, kann man die einzelnen Unbekannten nicht ausrechnen. Es lässt sich lediglich eine Variable in Abhängigkeit einer anderen Variable ausdrücken.

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