Quadratische Ergänzung lösen – Beispiele, Formel & Video

Dieser Text behandelt das Thema „Quadratische Ergänzung“ und es wird logisch erklärt wie man sie benutzt. Dies erklären wir euch anhand von einigen Beispielen.

Man benötigt die „Quadratischer Ergänzung“ als mathematisches Mittel zur Umformung von Termen, sofern in diesen eine quadratische Variable vorhanden ist. Eine quadratische Variable ist beispielhaft a hoch 2 oder 6 hoch 2. Die Zielsetzung ist, dass wir zu einem quadratischem Binom kommen.

In der Mathematik ist es immer von Vorteil, wenn man sich einen Ablaufplan einprägt an dem man sich entlang hangeln kann. Wir möchten euch nun einen solchen Ablaufplan aufzeigen und euch anschließend ein Rechenbeispiel präsentieren.

Folgender Ablaufplan ist hilfreich, wenn man quadratische Ergänzungen erledigen und anschließend Klammerausdrücke bilden möchte:

• Schritt 1: Wenn der Variable eine Zahl voraus geht die keine „Eins“ ist, dividiert die Variable durch diese.
• Schritt 2: Ermittelt p. (der Wert, welcher vor der einfachen variable zu finden ist)
• Schritt 3: Nun könnt ihr die quadratische Ergänzung bilden, also (p / 2) zum Quadrat.
• Schritt 4: Jetzt müsst ihr die alleinstehende Zahl ohne Variable, in eurer Gleichung, auf die andere Seite befördern.
• Schritt 5: In eure Gleichung könnt ihr nun die quadratische Ergänzung einbauen.
• Schritt 6: Letztlich könnt ihr den Klammerausdruck bilden.

 

Erstes Beispiel

Wir möchten euch nun den Rechenweg etwas genauer erläutern:

• Schritt 1: Zu allererst dividieren wir unsere Gleichung, z. B. 2x² – 8x -4 = 0 durch 2, also durch die Zahl vor dem x². So kommen wir auf das Ergebnis x² -4x – 2 = 0.
• Schritt 2: Im Folgenden lesen wir die Zahl ab, welche vor dem x zu finden ist, also die -4.
• Schritt 3: Diese bauen wir in die Formel ( p / 2 )² ein und erhalten als Ergebnis den Wert 4. Also ( -4 / 2)² = 4. Also ist 4 die quadratischer Ergänzung.
• Schritt 4: Nun müssen wir die 2 los werden und schieben diese dazu auf die andere Seite und erhalten damit die Formel x² – 4x = 2.
• Schritt 5: Wir verwenden die quadratische Ergänzung, also die bereits oben ermittelte 4 und bauen diese auf beiden Seiten unserer Gleichung ein. Das sieht dann so aus: r² – 4x +4 = 2 + 4.
• Schritt 6: Wir bilden den Klammerausdruck, also ( r – 2 )² = 6.

Hier haben wir noch ein zweites Beispiel für Euch:

In diesem Fall (3x² + 5x + 2 = 0 ) dividieren wir ebenfalls erst einmal durch die Zahl vor dem x², in diesem Fall durch die 3. Nun lesen wir die 1,6666… ab und berechnen im Folgenden die quadratische Ergänzung zu dem Wert 0,694. Dann befördern wir wie im vorherigen Beispiel auch wieder die alleinstehende Zahl 0,666 auf die andere Seite und bauen die quadratische Ergänzung in die Gleichung ein. Abschließend die Klammer bilden und kommen zum Ergebnis: (x + 0,83…)² = 0,0273…

Und ein drittes Beispiel:

Die Formel, 8a² + 4a = 16, teilen wir nun auch wieder durch die Zahl vor dem x². So kommen wir auf die Formel, a² + 0,5a = 2. Die Zahl die nun vor dem a steht ist jetzt p. Wir bilden die quadratische Ergänzung mit Hilfe von p. Also

(0,5 / 2)² = 0,625.

Ergänzen wir nun beide Seiten um die 0,625 erhalten wir die Formel

a² + 0,5a + 0,06265= 2 + 0,0625

Bilden wir nun die Klammer, kommen wir zum Ergebnis:

( a + 0,25 )² = 2,0625