Wie viele Zahlenkombinationen gibt es bei 5 Ziffern?

Die Frage, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es bei fünf Ziffern gibt, taucht immer einmal wieder auf. Beispielsweise ist es bei Passwörtern von nicht unerheblicher Bedeutung, wie viele Kombinationen möglich sind. Je mehr potenzielle Möglichkeiten, desto besser und damit sicherer ist nämlich das Passwort. Aber auch bei Telefonnummern oder Handynummern ist es entscheidend, wie viele Möglichkeiten der Kombination es gibt. Auf ähnliche Weise kann aber auch die Kombination aus Kleidungsstücken ermittelt werden.
Dabei ist klar, je mehr Stellen besetzt werden, also aus je mehr Ziffern eine Nummer besteht, desto mehr Optionen gibt es. Dennoch kann die Frage nach den Kombinationsmöglichkeiten bei fünf Ziffern nicht sofort pauschal beantwortet werden.

Im Mathematikunterricht stellen sich solche Fragen im Teilbereich der Stochastik. Hier werden Wahrscheinlichkeiten ausgerechnet und Möglichkeiten evaluiert. Für solche Fragestellungen müssen beispielsweise auch Kombinationsmöglichkeiten errechnet werden, um etwa zu beantworten, mit welcher Wahrscheinlichkeit jemand genau diese spezielle Nummer besitzt.

Für die Beantwortung der Fragestellung gibt es zwei Möglichkeiten. Zum einen kann die Situation entstehen, dass jede Ziffer nur ein einziges Mal verwendet werden darf. Zum anderen kann es aber, wie etwa bei PIN Nummern, der Fall sein, dass jede Ziffer beliebig oft eingesetzt werden kann. Für beide Fälle gilt eine andere Vorgehensweise.
Ein Spezialfall wäre, wenn die Ziffer einer oder mehrerer Stellen bereits vorgegeben wäre. Auch diese Möglichkeit soll hier im letzten Punkt noch beschrieben werden.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn jede Zahl nur einmal verwendet werden soll?

Wenn jede Ziffer nur einmal eingesetzt werden soll, ist eine besondere Rechenart notwendig. In der Stochastik würde es sich hier um das Modell „Ziehen ohne Zurücklegen“ handeln. Das heißt, ist eine Ziffer bereits aus dem Topf entfernt, kann sie nicht erneut gezogen also verwendet werden. Es wäre zum Beispiel möglich, diese Zahl zu erhalten: 12483.

Gerechnet wird dann folgendermaßen:

Die erste Stelle der fünfziffrigen Zahl kann mit einer der 10 Ziffern besetzt werden.
Zehn Ziffern sind es, weil alle Ziffern von 0 bis 9 genau einmal vorkommen. An dieser Stelle gibt es also 10 Möglichkeiten für die Besetzung.
An der zweiten Stelle sind dann nur noch neun Möglichkeiten übrig, weil eine Ziffer bereits an erster Stelle verwendet wurde.

An der dritten Stelle sind es dann noch acht Möglichkeiten, an der vierten Stelle sieben Möglichkeiten und an der fünften Stelle noch sechs Möglichkeiten für den Einsatz einer Ziffer.

So ergibt sich dann die Rechnung 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30240. Es gibt in diesem Fall also 30240 verschiedene Möglichkeiten der Kombination.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn jede Zahl mehrmals verwendet werden kann?

Bei diesem zweiten Beispiel können die Ziffern von 0 bis 9 mehrmals verwendet werden. Es wäre also möglich, dass die Kombination 11111 entsteht. In der Stochastik nennt man dieses Vorgehen „Ziehen mit Zurücklegen“, weil jede Ziffer mehrmals gezogen also verwendet werden kann.

Hier ist die Rechnung relativ unkompliziert.
Die erste Stelle kann wieder mit einer der zehn Ziffern von 0 bis 9 besetzt werden. Es gibt also 10 Möglichkeiten.

Da die Ziffern mehrmals verwendet werden können, gilt auch an den Stellen zwei bis fünf, dass 10 Ziffern eingesetzt werden dürfen. Für jede einzelne Stelle der Zahl hat man also die Möglichkeit, 10 Ziffern einzusetzen.

So ergibt sich die Rechnung:

10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10⁵ = 100.000

Das bedeutet, dass es 100.000 verschiedene Möglichkeiten der Kombination gibt. Es könnten also 100.000 Menschen eine Nummer mit fünf Stellen bekommen, ohne dass sich eine Nummer doppelt.

Die Formel dazu lautet:

n^k

n = die Anzahl der Elemente oder Möglichkeiten (in unserem Fall die Anzahl der möglichen Ziffern)

k = die Anzahl der „Ziehungen“ (in unserem Fall haben wir 3 Ziehungen)

Eine ausführliche Anleitung zum Thema Kombinatorik gibt es hier.

Was gilt, wenn bestimmte Regeln für die Besetzung der Zifferstellen vorgegeben sind?

Oftmals gibt es zusätzlich noch verschiedene Regeln, mit denen Zifferstellen besetzt werden dürfen. Diese werden hier nur übersichtsmäßig angerissen, da es unzählige unterschiedliche Sonderfälle geben kann.

Es kann zum Beispiel vorkommen, dass eine Stelle schon mit einer bestimmten Ziffer besetzt sein muss, dass die Zahl zum Beispiel mit der 1 beginnen muss.
Hier betrachtet man dann nur noch die übrigen vier Stellen. Man muss vorgehen wie oben beschrieben.

Wenn jede Ziffer nur einmal vorkommen darf, hat man für die erste Stelle 9 Möglichkeiten (weil die 1 ja schon wegfällt), für die zweite 8 Möglichkeiten, für die dritte 7 Möglichkeiten und für die vierte 6 Möglichkeiten. Multipliziert man diese, erhält man das Ergebnis 3024. Es gibt also nur noch 3024 verschiedene Möglichkeiten der Kombination.

Wenn jede Ziffer mehrmals vorkommen darf, kann man an den verbleibenden vier Stellen jeweils alle 10 Ziffern einsetzen. Man rechnet demnach 10 x 10 x 10 x 10 und erhält das Ergebnis 10.000.

Man verfährt ähnlich, wenn schon zwei oder drei Stellen der Zahl fest besetzt sind und betrachtet nur noch die verbleibenden Stellen.

Weiterhin kann die Auswahl an verschiedenen Stellen der Zahl beschränkt sein. Es kann etwa vorkommen, dass an zweiter Stelle nur zwischen den Ziffern 2, 3 und 4 gewählt werden kann. Dann hat man an der jeweiligen Stelle nur drei Optionen. Man müsste also 3 x 10 x 10 x 10 x 10 rechnen und erhielte das Ergebnis 30.000.

Abschließendes Fazit

Natürlich gibt es noch vielfältige weitere spezifische Fallbeispiele. Diese können selbstverständlich nicht alle in diesem Beitrag erläutert werden. Dennoch ist hier ein guter Überblick über das Rechnen bei der Kombination von fünf Ziffern gegeben. Das individuelle Vorgehen in unterschiedlichen Aufgaben unterscheidet sich meist nur leicht und wendet hauptsächlich eine der oberen beiden Rechenmethoden an.

Es zeigt sich aber auf jeden Fall, dass es – je nach Verfahren – bereits bei fünf zu besetzenden Stellen unzählige verschiedene Kombinationsmöglichkeiten gibt. Es dürfte also eine Weile dauern, einen fünfstelligen Zahlencode zu knacken. Leichter haben es Hacker, die einen Computer nutzen und mithilfe eines Algorithmus die Möglichkeiten durchgehen, bis sie den Code geknackt haben. Solche Verfahren dauern dank moderner Technik nicht mehr lange und ermöglichen leichten Zugriff auf fremde Daten, weshalb ein besonderer Schutz immer ratsam ist.

Auf jeden Fall gilt also: Je länger der Code, desto schwerer ist er zu knacken, desto sicherer ist die Kombination.

Es ist also von Vorteil, lange PINS zu wählen. Bestenfalls setzt man noch Buchstaben und Sonderzeichen ein, um noch mehr Kombinationsmöglichkeiten zu generieren.

Anatoli Bauer

Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)