In der Mathematik ist eine solche Fragestellung üblich: Wie viele mögliche Zahlenkombinationen gibt es bei 10 Ziffern? Während man bei drei oder vier Ziffern noch recht einfach durch Ausprobieren und Skizzieren zur richtigen Lösung kommt, ist dies bei der eben genannten Aufgabenstellung nicht mehr möglich. Dafür ist es wichtig, das Rechenprinzip zu verstehen, das hinter der Aufgabe steckt. Nachfolgend wird die zugrundeliegende Mathematik erklärt, der Lösungsweg der Aufgabe dargestellt und das Ganze anschaulich an Beispielaufgaben demonstriert.
Aufgabe als Teil der Stochastik
Die Stochastik ist ein Teilbereich der Mathematik. Hier geht es um Aufgaben der Kombinatorik und des Zufalls. In diesem Fall ist die Aufgabe vor allem der Kombinatorik zuzurechnen. Es werden verschiedenste Möglichkeiten der Zusammensetzung erprobt und anschließend gezählt. Damit sind dann Aufgaben möglich wie auszurechnen, wie wahrscheinliche eine bestimmte zusammengesetzte Zahl bei zehn Ziffern auftritt, wenn alle Stellen zufällig besetzt werden. Mithilfe der Stochastik können auch Daten und empirische Statistiken erhoben werden.
Lösung der Aufgabe
Lösungsweg der Aufgaben Typ a:
Die Aufgabe könnte theoretisch gelöst werden, indem man einen Rechenbaum mit zehn Ästen zeichnet, von denen dann wieder jeweils zehn Verästelungen abgehen. Das ganze müsste man auf insgesamt zehn Ebenen durchführen. Sie erahnen sicher schon, dass dies unverhältnismäßig viel Aufwand wäre und vermutlich Wochen und Unmengen an Papier benötigen würde.
Daher geht man die Aufgabe praktischer an:
- Zeichnen Sie auf ein Blatt zehn Leerstellen nebeneinander, auf die theoretisch Ziffern geschrieben werden könnten.
- Überlegen Sie nun für die erste Leerstelle, mit wie vielen möglichen Ziffern Sie diese besetzen könnten. In diesem Fall sind dies die Ziffern von 0 bis 9, also 10 Ziffern.
- Dasselbe gilt für die zweite, dritte, vierte Leerstelle, usw.. Jede von ihnen könnte theoretisch mit 10 Ziffern besetzt werden.
- Ist eine Ziffer festgelegt, könnte diese mit 10 möglichen anderen Ziffern kombiniert werden. Die richtige Rechnung muss also lauten: 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10.
- Weil diese Rechnung jedoch sehr umständlich zu schreiben ist, empfiehlt sich die verkürzte Schreibweise mit einer Potenz: 10^10.
- Das Ergebnis von 10^10 lautet schließlich: 10.000.000.000. Eine 10 mit zehn Nullen also. Sie sehen, dass es quasi unmöglich ist, alle Kombinationsmöglichkeiten aufzuschreiben.
Lösungsweg der Aufgaben Typ b):
Es wäre auch möglich, dass die Aufgabenstellung leicht abgewandelt ist und jede Ziffer nur einmal verwendet werden darf. In diesem Fall muss mit der Fakultät gerechnet werden.
Die erste der zehn Leerstellen kann noch mit allen 10 Ziffern besetzt werden. Für die zweite bleiben dann nur noch neun mögliche Ziffern übrig. Für die dritte Stelle sind es acht, für die vierte sieben, usw.. Die Besetzungen der einzelnen Leerstellen multipliziert man dann wieder und erhält folgende Rechnung:
10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
Auch hier gibt es eine vereinfachte Schreibweise, nämlich: 10!.
Das „!“ steht für Fakultät und bedeutet die oben genannte Rechnung in verkürzter Schreibweise.
Das Ergebnis für diese Rechnung lautet 3.628.800.
Also auch noch eine ganze Menge möglicher Kombinationen.
Beispielaufgaben
Hier finden Sie einige mögliche Aufgabenstellungen, die mit den gerade beschriebenen Rechenwegen gelöst werden können.
Rechenweg a) wird für folgende Aufgabentypen benötigt:
1. Eine Bank möchte neue Kontonummern mit 10 Stellen vergeben. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es?
Wie viele Möglichkeiten hat die Bank, wenn Nummern mit nur gleichen Ziffern (Bsp.: 0 000 000 000) nicht vergeben werden sollen?
In diesem Fall müssten Sie die 10 Varianten, bei denen alle Ziffern gleich sind von der Gesamtzahl möglicher Kombinationsmöglichkeiten abziehen.
2. Ein Barcode besteht aus 10 Stellen. Berechnen Sie, wie viele mögliche Barcodes sich ergeben. Wie viele verschiedene Produkte können mit einem zehnstelligen Barcode bezeichnet werden?
Rechenweg b) wird für folgende Aufgabentypen benötigt:
3. Eine Firma möchte eindeutige Produktnummern vergeben. Damit es nicht zur Verwechslungsgefahr kommt, soll bei einem zehnstelligen Code jede Ziffer nur einfach verwendet werden. Wie viele mögliche Kombinationen gibt es? Wie viele Produkte können mit einem zehnstelligen Code bezeichnet werden?
4. Bei der Vergabe von Produktnummern soll jede Ziffer nur einmal verwendet werden. Eine Ausnahme stellt die Ziffer 0 dar. Sie muss insgesamt dreimal im zehnstelligen Code vorkommen. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es bei den Produktnummern?
Hier gibt es eine Besonderheit: Drei Stellen Ihres zehnstelligen Codes sind schon besetzt, nämlich mit Nullen. An welcher Stelle diese stehen ist für die Rechnung nicht relevant. Auf deren „Plätzen“ gibt es also nur eine Möglichkeit. Die Rechnung lautet also: 1 x 1 x 1 (damit sind die Stellen der Nullen abgedeckt) und dann für die restlichen sieben Plätze: 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 (da die Null nicht mehr verwendet werden darf, gibt es für die erste Stelle nur noch neun mögliche Ziffern).
Die Lösung dieser Aufgabe wäre 181.440.
Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)
