Wie viele Zahlenkombinationen gibt es bei 9 Ziffern

Wenn im Rahmen von mathematischen Fragestellungen gefordert wird, die Zahl der möglichen Kombinationen bei neun Ziffern zu ermitteln, kann die Aufgabe nicht einfach durch Skizzieren und Ausprobieren gelöst werden. Das ist bei neun Leerstellen nahezu unmöglich. Allerdings ist die Lösung einer solchen Aufgabe auch kein Hexenwerk, wenn man einmal das dahinterliegende Prinzip verstanden hat. Dann ist es möglich, schnell und unkompliziert ähnliche Aufgabentypen mit einer beliebigen Anzahl an Leerstellen zu lösen. Nachfolgend wird erläutert, welches mathematische Prinzip hinter der Aufgabe steckt und wie diese gelöst werden kann. Einige Beispielaufgaben veranschaulichen den Lösungsweg noch einmal genauer.

Kombinatorik als Teilgebiet der Stochastik

Die Mathematik teilt sich in die Bereiche Analysis, Geometrie und Stochastik auf. Zu letzterem gehört der oben genannte Aufgabentyp – genauer gesagt zur Kombinatorik. In der Stochastik geht es um Zufälle, Wahrscheinlichkeiten und – wie in diesem Fall auch – um die Anzahl an Möglichkeiten, die entstehen, wenn bestimmte Variablen verändert oder festgelegt werden. Wichtig ist dies für Statistiken, Fehlerberechnungen, aber auch simple Alltagsmathematik. Es lohnt sich also, sich diese Aufgabe der Kombinatorik näher anzusehen.

Wie man die Kombinationsmöglichkeiten ermittelt:

Lösungsweg der Aufgabe Typ A:
Beim Aufgabentyp, der hier mit dem „Typ A“ bezeichnet wird, sind neun Leerstellen gegeben, die durch Ziffern besetzt werden sollen. Es gibt keine Vorgaben und jede Ziffer kann beliebig oft vorkommen. Sie werden an der Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten später erkennen, dass eine zeichnerische Lösung in dieser Größenordnung nicht sinnvoll ist. Gehen Sie also wie folgt vor:

• Zeichnen Sie zur Hilfe neun Leerstellen auf ein Blatt. Jede dieser Leerstellen soll nun mit einer Ziffer besetzt werden.
• Überlegen Sie sich für die erste Leerstelle: Wie viele mögliche Ziffern können Sie einsetzen? Die Ziffern von 0 bis 9 sind möglich, demnach gibt es 10 Ziffern, die eingesetzt werden können.
• An der zweiten Stelle können ebenfalls 10 Ziffern eingesetzt werden. An der dritten auch, usw..
• Es ist also erkennbar, dass an jeder der neun Leerstellen je 10 Ziffern eingesetzt werden können.
• Im nächsten Schritt multiplizieren Sie die möglichen Anzahlen der einzelnen Leerstellen. Folgende Rechnung ergibt sich: 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10.
• Diese Rechnung kann vereinfacht auch so geschrieben werden: 10^9.
• Die Lösung ist also eine 10 mit neun Nullen, demnach: 1.000.000.000.

Lösungsweg der Aufgabe Typ B:
Bei Aufgaben, die hier mit dem Typ B bezeichnet werden, darf jede Ziffer nur einmal verwendet werden. Daher muss hier eine andere Rechnung erfolgen. Gehen Sie wie folgt vor:

• Zeichnen Sie sich wieder neun Leerstellen als Gedankenstütze.
• Die erste Stelle kann mit 10 Ziffern besetzt werden.
• Bei der zweiten Leerstelle sind schon nur noch neun Ziffern möglich. Bei der dritten sind es acht, bei der vierten sieben, usw..
• Die Rechenart bleibt gleich, das heißt, Sie müssen die einzelnen Möglichkeiten wieder multiplizieren.
• Folgende Rechnung ergibt sich: 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2.
• Als Lösung erhalten Sie hier 3.628.880 mögliche Kombinationen.

Beispiele zur Anwendung:

Hier finden Sie praktische Anwendungsbeispiele, die Ihnen Aufgabentypen vorstellen, bei denen Sie die eben beschriebenen Rechenwege nutzen können.

Beispiel zur Anwendung von Typ A):
Ein Mobilfunkanbieter vergibt künftig neunstellige Handynummern.
a) Wie viele mögliche Nummern kann die Firma vergeben?
b) Wie viele mögliche Nummern gibt es, wenn Nummern, die aus lauter gleichen Ziffern bestehen nicht vergeben werden?
c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Nummer mit „0 1“ beginnen muss?
Hinweis zu b): Hier müssen Sie die 10 Möglichkeiten (z.B. 111 111 111), bei denen alle Ziffern der Nummer gleich sind, von der Gesamtlösung aus a) abziehen.

Hinweis zu c): Soll die Nummer mit 01 beginnen, sind die ersten beiden Leerstellen schon festgelegt. Hier gibt es nur eine mögliche Ziffer einzusetzen. Die Rechnung beginnt also mit 1 x 1, anschließend wird für die verbleibenden Stellen noch siebenmal die 10 multipliziert, also 1 x 1 x 10^7.

Beispiel zur Anwendung von Typ B):
Ein Arzneimittelkonzern möchte seine Tabletten eindeutig kennzeichnen. Damit die Verwechslungsgefahr bei ÄrztInnen und ApothekerInnen möglichst klein gehalten wird, beschließt der Vorstand, dass bei den neunstelligen Produktcodes jede Ziffer nur einmal verwendet werden darf.
a) Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es?
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die letzten drei Ziffern keine 0 sein dürfen?
Hinweis zu b): Wenn die ersten drei Ziffern nicht mit einer 0 besetzt werden dürfen, gibt es an diesen Leerstellen je nur neun mögliche Ziffern einzusetzen. Die Rechnung muss wie folgt lauten: 9 x 8 x 7 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 (die zweite 7 nimmt die 0 wieder mit in die möglichen Ziffern auf).

Anatoli Bauer

Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)