Wie viele Zahlenkombinationen gibt es bei 11 Ziffern?

Dies ist eine klassische Fragestellung in der Kombinatorik. Doch nun zur Beantwortung:

Das Urnenmodell

Wie so oft auf diesem Gebiet, hilft uns das Urnenmodell. Es hilft uns dabei, die wichtigen Merkmale herauszufinden, damit wir die richtige Formel verwenden können. In dieser Urne sind Murmeln, welche herausgezogen werden und damit unsere Möglichkeiten darstellen.

Auf die Fragestellung bezogen

In diesem Beispiel geht es wie folgt: Stellen Sie sich eine Urne vor, in welcher zehn Murmeln sind. Die Murmeln repräsentieren hier die einzelnen Ziffern, die wir bei der Zahl verwenden können. Daher befinden sich in unserer Urne auch zehn Murmeln, denn unser Zahlensystem besteht aus 10 Ziffern.

Eine weitere Eigenschaft, die wir bestimmen müssen, ist, ob es Wiederholungen geben darf. Eine Wiederholung wird dabei ausgedrückt, indem die Murmel nach dem Ziehen, wieder in die Urne zurückgelegt wird. Dies ist hier der Fall, denn eine Zahl darf mehrmals die gleiche Ziffer haben. Ein Beispiel hierfür ist die Zahl „99“, welche zweimal die Ziffer „9“ besitzt. Beispielsweise kann beim Lotto jede Zahl jedoch nur einmal gezogen werden. Damit ist eine Murmel dauerhaft aus der Urne, sobald sie einmal gezogen wurde.
Weiterhin ist noch wichtig, so trivial es auch scheinen mag, zu entscheiden, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt, oder völlig egal ist. Beim Lotto ist es beispielsweise egal, in welcher Reihenfolge die Kugeln gezogen werden. Hier ist es allerdings anders. Bei einen Zahl spielt es eine Rolle, wann welche Ziffer kommt. „110“ ist eine andere Zahl als „101“, obwohl nur die Reihenfolge der Ziffern unterschiedlich ist.

Eine Information fehlt noch. Mit den bisherigen Merkmalen, könnte dieses Spiel endlos weitergehen. Da jede Murmel immer wieder zurückgelegt wird, ist keine Ende in Sicht. Daher benötigt man noch die Anzahl der Ziehungen, die insgesamt vorgenommen werden soll. Hier ist durch die Fragestellung direkt gesagt, dass es um eine elf-stellige Zahl geht, also wird auch elf Mal gezogen.

Herleitung der Formel

Anhand der, durch das Urnenmodell festgestellten, Informationen kann man sich nun an die Herleitung der passenden Formel machen. Die eingeführten Merkmale teilen es in vier verschiedene Bereiche auf:

• ziehen mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge
• ziehen mit Zurücklegen und mit Reihenfolge
• ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge
• ziehen ohne Zurücklegen und mit Reihenfolge

Für jede Variante gibt es eine Formel. Das Urnenmodell zeigt auf, dass hier die zweite Variante vorliegt: „ziehen mit Zurücklegen und mit Reihenfolge“.
Für die Herleitung stellen wir uns wieder die Urne mit den Murmeln vor. Bei jedem Ziehen können wir zehn verschiedene Murmeln ziehen:

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9

Diese Zahl variiert nie, da eine gezogene Murmel immer wieder in die Urne zurückgelegt wird.
Das bedeutet es gibt beim Ziehen jedes Mal zehn Möglichkeiten, die miteinander verknüpft werden. In diesem Fall bedeutet das Verknüpfen, das sie miteinander multipliziert werden. Also erhält man 10 x 10 x 10 x … x 10 mit elf Mal die 10 kurz 10^11 (gesprochen 10 hoch 11).
Im allgemeinen erhalten wir als Formel „Anzahl der Murmeln“ ^ „Anzahl der Ziehungen“.
Das heißt, die Anzahl der Zahlenkombinationen mit 11 Ziffern ist 100.000.000.000 bzw. 100 Milliarden.

Anatoli Bauer

Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)