Definitionsmenge einer quadratischen Gleichung bestimmen

Beim Berechnen von Gleichungen können sich schon mal Fehler einschleichen. Nicht alle Gleichungen werden auf die selbe Art bestimmt. Wie du die Definitionsmenge einer quadratischen Gleichung bestimmen kannst und was das eigentlich ist, erklären wir Dir in diesem Beitrag.

Die Definitionsmenge

Die Definitionsmenge wird auch Definitionsbereich genannt, beides ist dasselbe. Die Definitionsmenge bzw. der Definitionsbereich gibt an welche Zahlenwerte für den Wert x in die Gleichung eingesetzt werden dürfen.

Der Wertebereich

Eine Gleichung besteht nicht immer nur aus einer Variablen. Der Wertebereich gibt die Zahlenwerte für die Unbekannte y an.

Quadratische Gleichung

Die quadratische Gleichung ist eine Gleichung die auf

ax² + bx + c = 0

gebracht werden kann oder dieser entspricht. Die Koeffizienten der Gleichung, also die Werte a, b, c sind bereits bekannte Zahlen, die der Aufgabensteller festgelegt hat. Die einzige Einschränkung bei der quadratischen Gleichung ist, dass a ungleich 0 sein muss. Das Ergebnis liegt immer im Bereich der reellen Zahlen.

Da a nicht 0 sein darf, können beide Seiten der Gleichung durch a dividiert werden. Dies bringt uns zur Normalform der quadratischen Gleichung oder der sogenannten p-q-Form. Dividiert man beide Seiten nun durch a, sieht die Gleichung folgend aus:

Kurz werden diese Rechnungen jedoch folgend ersetzt:

Die Normalform der quadratischen Gleichung sieht folglich so aus:

x2 + px + q = 0

Lösen einer quadratischen Gleichung

Zum Lösen einer quadratischen Gleichung stehen zwei Wege zur Verfügung, die kleine und die große Lösungsformel. Egal welche genutzt wird, bei diesen Gleichungen gibt es eine, zwei oder gar keine Lösung.

Die kleine Lösungsformel

Um die Gleichung zu lösen, reicht die kleine Formel aus. Die Große ist nur die Erweiterung der kleinen. In den meisten Fällen wird diese nicht benötigt. Die Berechnung mittels der kleinen Lösungsformel basiert darauf das Quadrat zu vervollständigen. Die Formel:

Bei dieser Formel ist besonders der Teil p² / 4 – q , also der Teil unter dem Wurzelzeichen interessant. Von diesem kann abgeleitet werden wieviele und ob es eine Lösung zur Gleichung gibt.

Ist das Ergebnis von

Kleiner als 0 : Aus negativen Zahlen kann unter den reellen Zahlen keine Wurzel gezogen werden. Das heißt, dass diese Gleichung keine Lösung hat.

Gleich 0 : Hier gibt es eine Lösung.

Größer 0 : Zwei Lösungen sind möglich.

Die große Lösungsformel

Wie man sieht, wurden hier nur p und q durch ihre eigentlichen Rechnungen ersetzt.