Wie viele Kombinationen gibt es bei 3 Würfeln?

Ein klassischer Spielwürfel, der umgangssprachlich oft einfach auch Würfel genannt wird, ist die Grundlage für viele Gesellschafts- und Brettspiele. Er kann entweder als ein zusätzliches Utensil bei einem Spiel eingesetzt werden wie bei Spielen wie Monopoly, Risiko oder Mensch ärgere dich nicht oder auch als das grundsätzliche Element, um das das Spiel aufgebaut wird wie bei Kniffel oder Chikago. Ein klassischer Spielwürfel besteht aus sechs gleichen Seiten wie ein geometrischer Würfel und ist mit Zahlen von eins bis sechs nummeriert. Die Zahlen werden meist durch Punkte dargestellt und werden auch als Augen bezeichnet.

Für ein normales Würfelspiel nimmt man den Würfel und rollt ihn über den Tisch oder gibt ihn in einen Würfelbecher, schüttelt diesen und kippt ihn dann auf den Tisch. Die Seite, die nach oben zeigt, gibt die gewürfelte Zahl an. Bei einem Würfel kann man die Zahlen eins bis sechs erreichen. Wenn man aber mehrere Würfel kombiniert sind, kann man auch höhere Werte erwürfeln. In diesem Artikel geht es darum, welche Kombinationen mit Würfeln von drei Würfeln möglich sind.

Mögliche Kombinationen mit drei Würfeln

Mit 3 Würfeln sind die Möglichkeiten der gewürfelten Augensumme überraschend vielzählig und nicht so einfach zu bestimmen, wie man eventuell denkt. Wenn man im Internet danach sucht, kommt man schnell auf das Ergebnis. 6^3 = 6*6*6 = 216. Aber wie kann man auf dieses Ergebnis nachweisen? Es gibt die Möglichkeit, alle Kombinationen aufzulisten und abzuzählen. Die niedrigste Augenzahl mit drei Würfeln ist logischerweise drei, wenn man mit allen Würfeln eine Eins würfelt. Für die Vier gibt es schon drei Kombinationen, wenn ein Würfel eine Zwei ist und zwei würfel eine Eins: 1+1+2 = 4. Da jeder Würfel die Zwei sein kann, kommen wir auf drei Kombinationen. Für eine Fünf gibt es schon sechs Kombinationen: 1+2+2, 2+1+2, 2+2+1, 3+1+1, 1+3+1, 1+1+3.
So lässt es sich für alle Kombinationen von drei bis hin zur maximalen Augenzahl von 18 fortführen. Es ergibt sich aber keine algorithmische Reihe daraus. Um die Anzahl einfacher bestimmen zu können, benötigt man die Kombinatorik.

Die Anwendung der Kombinatorik

Die Kombinatorik geht auf Überlegungen von Mathematiker Blaise Pascal zurück, der sich im 17. Jahrhundert mit dieser Art Probleme beschäftigt hat. Die Benennung geht aber auf Gottfried Leibnitz zurück, der sich in seiner Dissertation „Dissertatio de arte combinatoria“ mit dem Thema beschäftigt hat. Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Mathematik und beschäftigt sich mit endlichen oder abzählbaren unendlichen diskreten Strukturen. Sie wird deswegen auch zur diskreten Mathematik zugerechnet. Eine Definition von George Pòlya sagt, dass die Kombinatorik eine Untersuchung des Abzählens, der Existenz und Konstruktion von Konfigurationen ist.

Die Kombinatorik führt Ereignisse auf die zu grundlegende Elementarereignisse zurück. Im vorliegenden Fall bedeutet das man überlegt, wie oft eine bestimmte Augenzahl vor kommt. Die Kombinatorik hat dafür eine Methode entwickelt, mit der das Ergebnis bestimmt werden kann, ohne jede Kombination einzeln abzuzählen.

Man muss dafür aber für jede Augenzahl die möglichen Kombinationen von Würfel Augen kennen. Als Beispiel die Kombinatorik für die Augenzahlen von elf und zwölf:

Augensumme 11: 1,5,5; 1,4,6; 2,4,5; 2,3,6; 3,4,4; 3,3,5
Augensumme 12: 1,5,6; 2,5,5; 2,4,6; 3,4,5; 4,4,4; 3,3,6

Für eine Kombination von drei unterschiedlichen Zahlen erhält man sechs Kombinationen. Für zwei unterschiedliche Zahlen Drei Kombinationen und wenn alle drei Würfel gleich sind nur eine Kombination. Somit erhalten wir bei Augensumme elf: 3+6+6+6+3+3 = 27 Kombinationen.

Bei der Zwölf gilt: 6+3+6+6+1+3 = 25 Kombinationen. Wenn man diese Zählung für alle Zahlen von drei bis 18 fortführt kommt man auf die Gesamtzahl von 216.

Anatoli Bauer

Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)