Ungleichungen mit Brüchen berechnen – Formel, Beispiele & Video

Und diesem Artikel befassen wir uns mit dem Thema Bruchgleichungen. Wir möchten euch erklären was zum Einen eine Bruchgleichung ist und zum Anderen, erklären wie man sie löst.

Wenn ihr euch weiter mit diesem Artikel befassen möchtet, sollten ihr bereits ein Vorwissen im Bereich der Bruchrechnung und dem Lösen von Gleichungen, sowie Ungleichungen, besitzen. Wenn diese Kenntnisse noch fehlen oder nur sehr schwach vorhanden sind, solltet ihr euch diese vorab aneignen, bzw. euer Wissen auffrischen. Wer sich sicher fühlt, kann weiter lesen.

Es ist wichtig, dass ihr zwei Dinge klären, bevor wir mit den Rechnungen beginnen können. Wir müssen klären was ein Bruchterm ist und wir müssen klären was eine Bruchungleichung ist.

Was ist ein Bruchterm?

Wenn die Zahl unter dem Bruchstrich, also der Nenner, eine Variable enthält, dann nennt man dies Bruchterm.

Was ist eine Bruchungleichung?

Wenn eine Ungleichung mindestens einen Bruchteil enthält, nennt man dieses Bruchungleichung.

So wie sich Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen lassen, kann man auf diesem Weg auch Bruchungleichungen lösen.

Da wir vorerst die Deffinitionsmenge bestimmen müssen wir zuvor einen Blick auf den Nenner der Bruchungleichung werfen.

Merke: Einen Wert, welcher zu einer Division durch Null führt, darf für die Variable nicht eingesetzt werden.

Diese Nullstellen, sind genau die Werte, welche nicht zur Definitionsmenge gehören, daher sind diese Nennernullstellen zu bestimmen. Es ist ebenfalls zu beachten, dass bei einer Division durch, oder einer Multiplikation mit einer negativen Zahl, das Relationszeichen umgekehrt werden muss. Es muss eine Fallunterscheidung gemacht werden, wenn eine Bruchungleichung mit einer negativen Variable multipliziert oder durch sie dividiert wird.

Hier ein Beispiel zur Bruchungleichung:

Wenn wir euch eine Bruchungleichung vorrechnen, fällt euch das Verstehen einer solchen möglicherweise leichter, diese zu verstehen. Wir möchten dieses also nun für euch tun. Anschließend werden wir euch unsere Rechnung genau erläutern. Schaut euch nun erst einmal in Ruhe folgendes Beispiel an.

Wir bestimmen als Erstes die Definitionsmenge. X darf also nicht gleich 5 gesetzt werden, da wir eine Division durch 0 nicht zulassen dürfen, wie wir bereits erklärt haben. Damit der Bruch größer als 0 wird, haben wir uns die Bedingungen hierfür überlegt. Dies könnt ihr euch im ersten und im zweiten Fall anschauen. Im Fall eins werden Zähler und Nenner größer als Null, im Fall zwei kleiner. Wir berechnen Fall eins und Fall zwei und wir setzen die jeweils schärfere Bedingung an. (Die Bedingung, welche die andere mit einschließt, wird genommen)