Der folgende Lernabschnitt soll sich dem Thema Trigonometrie widmen. Dabei steht besonders im Fokus, wie sowohl mit dem Sinus, als auch mit dem Cosinus und dem Tangens ein Winkel berechnet werden kann. Im Gedächtnis behalten werden sollten vor allem die Begriffe Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse. Denn ohne sie ist eine Berechnung nicht möglich. Die einzelnen Abschnitte werden dabei wie folgt unterteilt sein: zunächst erfolgte eine theoretische Erklärung und in Anschluss ein praktisches Beispiel.
Als erstes muss sich unbedingt gemerkt werden, dass der Kosinus, Sinus oder Tangens nur benutzt werden dürfen, wenn ein Dreieck mit einem rechten Winkel vorliegt. Ein solcher Winkel misst exakt 90 Grad. Ein Dreieck ohne einen rechten Winkel kann jedoch meist durch eine einfache Zerteilung zu zweirechtwinkligen Dreiecken gemacht werden.
Die wichtigsten Begriffe: Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse
Liegt nun ein rechtwinkliges Dreieck vor, müssen die drei Seiten bestimmt werden. Am einfachsten ist dies bei der Hypotenuse. Denn dabei handelt es sich immer um die längste Seite, die außerdem gegenüber dem rechten Winkel liegt. Dieser rechte Winkel ist für die eigentliche Berechnung jedoch nicht entscheidend. Denn meist ist noch ein zweiter Winkel gegeben, der im Normalfall mit dem griechischen Buchstaben α (gesprochen „Alpha„) gekennzeichnet ist. Die Seite, die sich zwischen den rechten Winkel und dem Winkel α befindet, nennt sich Ankathete. Sie liegt somit an beiden Winkeln an. Dementsprechend kann die verbleibende Seite nur die Gegenkathete sein.
Am Anfang jeder Rechenaufgabe sollte nach diesem Prinzip vorgegangen werden, um die Seiten richtig zu bestimmen. Eine anschließende Rechnung ist ansonsten nicht möglich.
Es müssen immer zwei Fälle unterschieden werden: Falls in der Aufgabenstellung der Winkel angegeben ist, ist es dank der Trigonometrie nun möglich die Längen der Seiten des Dreiecks zu berechnen. Alternativ können auch diese gegeben sein und der Winkel ist gesucht. Ist das nötige Verständnis und ein wenig Übung vorhanden, sollte die Berechnung von beidem jedoch kein Problem darstellen.
Der Sinus
Am häufigsten wird des Sinus verwendet. Deshalb soll dieser hier als erstes erwähnt werden. Bezogen wird diese Berechnung auf den Winkel α.
Wichtig ist, dass der verwendete Taschenrechner in Grad (englisch: Degree) eingestellt werden muss. Ansonsten wird immer ein falsches Ergebnis herauskommen. Außerdem werden in Fächern wie etwa Physik häufig unterschiedliche Einheiten verwendet. Diese müssen vor dem Einsetzen unbedingt aneinander angepasst werden.
Um den Winkel zu berechnen, muss außerdem der Arcsin benutzt werden. Die meisten Taschenrechner zeigen diesen als 〖sin〗^(-1) an.
Beispiel zum Sinus:
Die Hypotenuse hat eine Länge von 6 cm, die Gegenkathete hat eine Länge von 4 cm. Berechnet werden soll der Winkel α.
sin (α)= Gegenkathete/Hypotenuse Die Angaben werden in die Formel eingesetzt.
〖sin〗^(-1) = 4cm/6cm Der hier einen Winkel berechnet werden soll, muss der arcsin benutzt werden.
Das Ergebnis lautet: α = 41, 81 Grad.
Der Cosinus
Für den Cosinus gilt hingegen die folgende Beziehung:
Auch hier kann nun für den Winkel eine entsprechende Angabe in Grad eingesetzt werden. Durch das Umstellen der Gleichung ist es dann möglich die Länge einer der beiden Seiten (Ankathete oder Hypotenuse) zu berechnen. Aber natürlich kann auch hier der Winkel berechnet werden, indem der arccos zur Anwendung kommt. Ebenso müssen auch hier die Einheiten an einander angepasst sein und der Taschenrechner auf Grad (Degree) stehen.
Beispiel zum Cosinus:
Die Ankathete ist eine Länge von 4 cm und die Hypotenuse hat eine Länge von 9 cm. Gesucht ist auch hier der Winkel α.
Cos (α)= Ankathete/Hypotenuse Die Angaben werden nun in die Formel eingesetzt.
〖cos〗^(-1) = (4 cm)/(9 cm) Da auch hier ein Winkel gesucht ist, muss die arccos Funktion verwendet werden.
Das Ergebnis lautet: α= 63, 61 Grad.
Der Tangens
Die entscheidende Formel für den Tangens lautet:
Auch hier sind die gleichen Bedingungen wie bei Cosinus und Sinus zu beachten. Soll der Winkel berechnet werden, wird die arctan Funktion verwendet.
Beispiel zum Tangens:
Die Ankathete hat dies war eine Länge von 8 cm und Gegenkathete bis 5 cm. Berechnet werden soll auch hier der Winkel α.
tan(α)= Gegenkathete/Ankathete In die Formel sind die Angaben einzusetzen.
〖tan〗^(-1) = (5 cm)/(8 cm) Wie bereits in den vorherigen Beispiel gezeigt, muss bei der Berechnung eines Winkels die „Hoch-Minus-Eins-Funktion„ angewandt werden.
Das Ergebnis lautet: α= 32, 00 Grad.
Das Wichtigste in Kürze:
Bevor überhaupt mit irgendeiner Berechnung begonnen werden sollte, ist es unerlässlich die Seiten des Dreiecks zu definieren. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel nennt sich Hypotenuse, die Seite zwischen dem rechten Winkel und dem gegebenen Winkel nennt sich Ankathete und die verbleibende Seite ist die Gegenkathete.
Je nachdem welche Angaben in der Aufgabenstellung gemacht werden, muss sich entschieden werden, ob entweder der Sinus, der Tangens oder der Cosinus angewendet werden können. Außerdem muss die Formel angepasst werden, wenn nicht die Länge einer Seite, sondern der Winkel gesucht wird.
Die Einheiten der Formel müssen immer aufeinander abgestimmt sein und der Taschenrechner muss sich im Degree-Modus befinden.
Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)
