In der Mathematik werden Potenzen genutzt um Zahlen abzukürzen. Ohne Potenzen wären manche Zahlen kaum darstellbar. Denn wer mag schon eine Zahl mit dreißig Nullen ausschreiben oder zählen wollen? Solche Zahlen kommen zum Beispiel in der Astronomie vor. Was man genau abkürzen kann zeigen wir euch in den folgenden Beispielen.
Mit Potenzen kann man besonders große Zahlen, aber auch besonders kleine Zahlen übersichtlich abkürzen. Es ist am anschaulichsten zu erklären, wenn man folgendes Beispiel nennt.
- 102 = 10 · 10
- 103 = 10 · 10 · 10
- 104 = 10 · 10 · 10 · 10
Die hoch stehende Zahl (der Exponent), gibt also an wie oft die unten stehende Zahl mit einem Multiplikationszeichen in den Zwischenräumen steht, was dem Wert der Zahl entspricht. Würde man die Zahl 10^16 errechnen wollen, dann müsse man 16 mal die Zahl nebeneinander auf ein Blatt Papier schreiben und zwischen den Zahlen jeweils ein Multiplikationszeichen setzen.
Bei Zehnerpotenzen kann man es sich da einfach machen in dem man sagt, dass die hochstehende Zahl, also die Potenz, die Anzahl der Nullen hinter einer 1 sind. Nicht hinter einer 10. Also 10^3 = 1000, 10^7 = 10000000.
Die Basis und der Exponent
Die Basis ist die Zahl die unten am Anfang steht und der Exponent ist der Potenzierungsfaktor der oben steht, auch Hochzahl genannt, beides zusammen ist die Potenz-Zahl. Natürlich kann man nicht nur die 10 potenzieren sondern jede andere beliebige Zahl auch. Hier einige
Beispiele:
- 23 = 2 · 2 · 2 = 8
- 74 = 7 · 7 · 7 · 7 = 2401
- 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243
- 84= 8 · 8 · 8 · 8 = 4096
Am letzten Beispiel kann man sehr gut sehen, dass sich auch riesige Zahlen mit Potenzen hervorragend abkürzen lassen.
Rechengesetze und negative Zahlen potenzieren
Auch negative Zahlen und Komma-Zahlen kann man wunderbar potenzieren. Hier einige Beispiele:
- 1,24 = 1,2 · 1,2 · 1,2 · 1,2 = 2,0736
- 2,343 = 2,34 · 2,34 · 2,34 = 12,812904
- (-3)4 = (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = 81
- (-1,4)2= (-1,4) · (-1,4) = 1,96
Die Rechengesetze
Addieren
Wenn die Basis der Potenzen gleich sind kann man die Exponenten addieren, wobei man die Basis beibehalten muss.
Formel: an · am = an+m
- 25 · 23 = 25+3 = 28 = 256
- 4-3 · 47 = 4-3+7 = 44 = 256
Ich erkläre es euch am letzten Beispiel. Wir haben zwei gleiche Basen und zwar die vier. Also können wir die Exponenten addieren. -3 + 7 = 4, also können wir diese beiden Potenz-Zahlen zu einer Zahl zusammenfassen nämlich zu 4^4.
Multiplizieren
Beim Multiplizieren zweier Potenz-Zahlen gilt eine andere Regel. Wenn die Exponenten gleich sind, multipliziert man die Basen und behält den Exponenten bei.
Formel: an · bn = (a · b)n
- 53 · 23 = (5 · 2)3 = 103 = 1000
- 35 · 25 = (3 · 2)5 = 65 = 7776
Ich erkläre es euch auch hier am letzten Beispiel. Wir haben zwei mal den Exponent 2. Also können wir die Basen 3 und 2 miteinander multiplizieren und erhalten eine 6. Da der Exponent beibehalten wird ergibt dies die zusammengefasste Potenz-Zahl 6^5 was einem Wert von 7776 entspricht.
Wird eine potenzierte Zahl wieder potenziert, werden beide Exponenten miteinander multipliziert und die Basis wird beibehalten.
Formel: (an)m = an·m
- (41)2 = 41·2 = 42 = 16
Dividieren
Möchte man Potenzen dividieren geht das bei gleichem Exponenten indem man die Basen dividiert und die Exponenten beibehält, also:
Formel: an : bn = (a : b)n
- 42 : 22 = (4 : 2)2 = 22 = 4
- 93 : 33 = (9 : 3)3 = 33 = 27
Merkt euch diese drei einfachen Regeln, dann wird das Arbeiten mit Potenzen zum Kinderspiel!
