Die Symmetrieachse verläuft durch den Scheitelpunkt einer Parabel und parallel zur y-Achse. Ihre Gleichung besitzt die Form x = a und für ihre Berechnung gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Was ist die Symmetrieachse?
Die Symmetrieachse teilt eine Parabel in zwei symmetrische Teile und verläuft dabei durch den Scheitelpunkt. Alle quadratischen Funktionen werden als Parabel graphisch dargestellt. Bei dieser Art der Funktionen werden Symmetrieachsen besonders häufig berechnet. Grundsätzlich sind aber alle Funktionengraphen mit geraden Exponenten symmetrisch bezüglich der y-Achse. Graphen von Funktionen mit ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch, also symmetrisch bezüglich des Ursprungs des Koordinatensystems.
Im Falle einer quadratischen Funktion geht die Symmetrieachse durch den niedrigsten oder höchsten Punkt (Minimum oder Maximum), also den Scheitelpunkt, und verläuft dabei parallel zur y-Achse. Sie kann auch mit der y-Achse ident sein. Das ist der Fall bei dem Graph der Normalparabel. Diese besitzt die Gleichung y = x2 und ihr Scheitelpunkt verfügt über die Koordinaten (0/0).
Wird die Parabel entlang der y-Achse nach oben oder unten verschoben, ändert sich die Symmetrieachse nicht. Sobald die Parabel aber entlang der x-Achse nach links oder rechts verschoben wird, ändert sich auch die Symmetrieachse mit ihr.
Die Gleichung der Symmetrieachse
Die Symmetrieachse besitzt die Gleichung x = a, wobei a die x-Koordinate des Scheitelpunkts darstellt. Wenn die Koordinaten des Scheitelpunktes bekannt sind, kann die Gleichung der Symmetrieachse einfach ablesen werden. Ansonsten hilft es, die Lage des Scheitelpunktes zu bestimmen. Darüber hinaus gibt es weitere Vorgehensweisen, wie die Bestimmung der Symmetrieachse mittels Differentialrechnung.
Die Berechnung der Symmetrieachse mittels Differentialrechnung
Eine quadratische Funktion besitzt die Gleichung y = ax2 + bx +c.
Eine Vorgehensweise zur Bestimmung des Scheitelpunkts und der Symmetrieachse ist es, die erste Ableitung der quadratischen Funktion zu bilden. Diese gibt die Steigung in jedem Punkt des Graphen an.
y´= 2ax + b
Danach muss für y der Wert 0 eingesetzt werden. Da die Steigung am Scheitelpunkt 0 ist, erfährt man so, an welcher x-Koordinate sich dieser befindet. Am höchsten oder am niedrigsten Punkt ist die Steigung deshalb 0, weil der Graph an dieser Stelle kurz aufhört zu steigen (bzw. zu fallen) und danach wieder fällt (bzw. steigt), da er seine Richtung ändert.
0 = 2ax + b
Nun muss nur noch die Gleichung auf x umgeformt und gelöst werden. Das Ergebnis (x = a) stellt gleichzeitig die Gleichung Symmetrieachse dar.
Weitere Vorgehensweisen
Die schnellste Möglichkeit, die Gleichung der Symmetrieachse zu bestimmen, ist es, die quadratische Gleichung in die Scheitelform zu bringen. Danach können die Koordinaten des Scheitelpunktes und somit auch die Gleichung der Symmetrieachse einfach abgelesen werden. Die Scheitelform sieht folgendermaßen aus: f(x) = a(x – d)2 + e. Die Koordinaten des Scheitelpunktes sind (d/e) und die Gleichung der Symmetrieachse x = d.
Des Weiteren können die Koordinaten des Scheitelpunktes einer quadratischen Funktion in der Form y = ax2 + bx +c mit der Formel S = (-b/2a; c – b2/4a) berechnet werden. Weist die Funktionsgleichung die Form y = x2 + px + q auf, wird der Scheitel mithilfe der Formel S = (-p/2; q – p2/4) bestimmt.
Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)
