Das Ableiten von Funktionen, häufig auch als Differentialrechnung bezeichnet, ist ein mathematisches Teilgebiet der Analysis. Besonders im Hinblick auf die Kurvendiskussion sind Ableitungen meist unerlässlich. Hierdurch ist es möglich, Kurvenverläufe, Steigungen und Extremwerte zu bestimmen. In der Mathematik gibt es eine Vielzahl verschiedener Ableitungsregeln. Hierzu gehören die Kettenregel, Produktregel, Quotientenregel, Potenzregel, Summenregel sowie die Faktorregel.
Grundsätzlich ist es sinnvoll, sich einen Überblick über die wichtigen Ableitungsregeln zu verschaffen. Je nach Zusammensetzung der Funktion, kommen eine oder mehrere dieser Regeln zur Anwendung. Es gibt eine große Palette von mathematischen Formelsammlungen und Taschenbüchern. Diese eignen sich häufig gut, um in die Analysis einzusteigen. Einige dieser Werke werden als zusätzliche Hilfsmittel in Klausuren und Hochschulprüfungen anerkannt. Nicht selten sind diese Bücher mit geeigneten Beispielaufgaben und anschaulichen Rechenwegen versehen. Ebenso förderlich sind Webseiten mit Ableitungsrechnern, welche die Ergebnisse mitsamt Rechenweg liefern.
Um die erste Ableitung der Funktion e hoch Minus x zu erhalten, kommt die Kettenregel zum Einsatz. Im nachfolgenden Abschnitt wird diese Regel erklärt und anschließend anwendet.
Kettenregel
Die Kettenregel wird zur Ableitung zweier miteinander verketteter Funktionen benutzt. Eine Funktion bezeichnet man als verkettet, wenn sie aus einer inneren und einer äußeren Funktion besteht. Eine weit verbreitete Schreibweise lautet f(x)= u(v(x)). Die innere Funktion v(x) und die äußere Funktion u(v) werden separat aufgeschrieben, um sie anschließend einfacher in die Formel der Kettenregel, f'(x)= u'(v(x)) v'(x), einzufügen.
Die Ableitung der verketteten Funktion f(x) ist demnach die Ableitung der äußeren Funktion u'(v(x)) mit v(x) eingesetzt, multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion v'(x). Angewendet auf die Funktion e hoch Minus x sollten zuerst die innere und äußere Funktion bestimmt werden.
Eigenschaften der e-Funktion
Die Eulersche Zahl e ist eine wichtige Konstante in der Mathematik und wurde nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler benannt. Sie gehört zu den irrationalen Zahlen und hat somit eine unendliche Anzahl nichtperiodischer Dezimalstellen. Ihr numerischer Wert (e= 2,718…) wird oftmals auf drei Nachkommastellen begrenzt angegeben. Die reine e-Funktion (auch natürliche Exponentialfunktion genannt, mit e hoch x) stellt einen besonderen Fall der Exponentialfunktionen dar. Sie besitzt die typische Eigenschaft, dass ihre Ableitung sich nicht verändert und ebenfalls e hoch x ist. Sobald das x im Exponenten jedoch nicht mehr alleine steht, muss auf die Kettenregel zurückgegriffen werden.
Berechnung der Ableitung der Funktion e hoch Minus x
Am einfachsten ist es, die Funktionen und deren Ableitungen einzeln aufzuschreiben. Die äußere Funktion u(v) besteht aus e hoch v(x) und die innere Funktion v(x) ist einfach nur -x. Da die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion wieder diese Exponentialfunktion ergibt, folgt für die Ableitung der äußeren Funktion folgendes Ergebnis:
u'(v(x))= e hoch Minus x
Für die Ermittlung der Ableitung der inneren Funktion ergibt sich weiter:
v'(x)= -1
Anschließend werden die berechneten Ableitungen u‘ und v‘ in die Formel der Kettenregel eingesetzt und miteinander multipliziert. Das Ergebnis sieht wie folgt aus:
f(x)= e hoch Minus x
f'(x)= u'(v(x)) v'(x)
f'(x)= e hoch Minus x multipliziert mit (-1) = -e hoch Minus 1
Abgesehen von der natürlichen Exponentialfunktion gibt es auch andere Werte als die Eulersche Zahl e, die die Basis einer Exponentialfunktion bilden. Zudem kann auch der Exponent weitaus umständlicher abzuleiten sein. Für diese Berechnungen reicht die Kettenregel alleine nicht mehr aus und es bedarf der Anwendung zusätzlicher Ableitungsregeln.
Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)
