Warum ist x hoch 0 = 1 ? – Aufklärung

Zunächst erscheint es unlogisch, dass jede Zahl außer Null, die mit der Potenz 0 berechnet wird, immer 1 ergeben soll. Doch eine einfache Rechnung kann diesen Sonderfall schnell erklären.

Division von Potenzen:

Es ist immer einfacher, mit Erklärungen mit realen Zahlen zu verstehen. Soll also 2³ : 2² berechnet werden, sind die Basiszahlen gleich. Dies ist die Voraussetzung für diese Art der Berechnung. Nun werden die Exponenten subtrahiert. 3 – 2 = 1.

2³ : 2² = 2^1

Die Potenzen können auch direkt berechnet werden. 2³ = 2 x 2 x 2 = 8. 2² = 2 x 2 = 4.

2³ : 2² = 8 : 4 = 2

Wenn nun 2³ : 2³ gerechnet werden soll, dann werden die Exponenten entsprechend berechnet. 2³ : 2³ = 2^3-3 = 2^0. 2³ ist immer noch 8. 8 : 8 = 1. Deshalb muss 2^0 ebenfalls 1 sein. Diese Rechnung kann mit allen Zahlen entsprechend durchgeführt werden. Jede Zahl, die durch sich selber geteilt wird, ergibt 1. Jede Zahl ist genau einmal in sich selber enthalten. Wird eine Unbekannte mit dem Exponenten Null angegeben, ist auch da das Ergebnis immer Eins. Denn x^0 = x³ : x³ = 1.

Multiplikation von Potenzen:

Ist die Basis gleich, werden bei der Multiplikation die Exponenten addiert. 4² x 4³ = 4^5 = 1024. Werden die Potenzen zuerst berechnet, steht in der Rechnung 4² x 4³ = 16 x 64 = 1024. Um diese Umwandlung vorzunehmen, muss die Basiszahl immer identisch sein. Daher gilt auch bei der Rechnung mit Unbekannten, dass diese übereinstimmen müssen. Dann kann aus x³ mal x² in einer Rechnung x^5 werden. Auf diese Weise können mehrere gleiche Unbekannte in einer Rechnung zusammengefasst werden.

Addition und Subtraktion von Potenzen:

Bei diesen Rechenarten dürfen ebenfalls nur Potenzen mit gleicher Basis zusammengefasst werden. Hier geschieht diese jedoch in anderer Form. Außerdem muss neben der Unbekannten auch der Exponent gleich sein. Aus 5² + 5² wird dann 2×5². Entsprechend können x³ + x³ = 2x³ werden. Die Subtraktion verläuft vergleichbar. 6*x³ – 3*x³ = (6-3)x³ = 3x³.

Sonderregel 0^0:

Es wäre möglich zu sagen, dass die Null genau einmal in der Null vorhanden ist. Doch diese Berechnung würde widersinnig, denn sie ist eben auch keinmal in der Null vorhanden. Deshalb geben Berechnungen mit dem Taschenrechner bei einer Division durch Null kein klares Ergebnis an. In einigen Geräten wird gesagt, dass die Division durch 0 nicht möglich ist. Andere Rechner zeigen „NaN“, „nDef“ oder “ nicht definiert“ an. In jedem Fall wird die Berechnung an dieser Stelle gestoppt. Entsprechend ist es auch nicht möglich, 0^0 mit einem Ergebnis zu definieren. Wird eine beliebige Zahl mit Null multipliziert, ist auch das Ergebnis Null. Bei der Subtraktion oder Addition mit Null verändert sich das Ergebnis nicht. Es ist jedoch möglich, von der Null zu subtrahieren. Das Ergebnis liegt dann immer im negativen Zahlenbereich. Wird eine positive Zahl zur Null addiert, ist das Ergebnis gleich dem zweiten Summanden.

Fazit:

Bevor die Berechnung der Potenz ^0 erfolgt, sollten die übrigen Rechenregeln geläufig sein. Auf diese Weise kann schnell erklärt werden, weshalb dir Potenz Null zu keinem unlogischen Ergebnis führt. Diese Angabe wird als Ergebnis einer Rechnung klar überschaubar. Wurde dieser Ablauf einmal verstanden, kann mit sämtlichen Potenzregeln leichter umgegangen werden.

Anatoli Bauer

Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)