Wie viele Kombinationen gibt es bei 3 Buchstaben?

Wenn eine solche Aufgabe gestellt wird, muss zunächst geklärt werden, ob es sich bei den drei Buchstaben um eine feste Anzahl von Buchstaben handelt. Es kann aber auch sein, dass die Kombination aus drei Buchstaben aller vorhandenen Buchstaben des Alphabets gefragt sein kann. Im zweiten Fall ist die Lösungsmenge der Aufgabe deutlich größer.

Menge A B C:

Besteht die Menge der Buchstaben aus einer Gruppe von drei verschiedenen Buchstaben, die beliebig oft vorkommen dürfen, ist die Lösungsmenge immer noch anders, als wenn jeder Buchstabe mindestens einmal vorhanden sein muss. Soll jeder Buchstabe mindestens einmal genutzt werden, und die Menge der Buchstaben ist beispielsweise A, B, C, dann ist die Menge überschaubar. ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. In diesem Fall gibt es also nur sechs Lösungsmöglichkeiten. Dürfen die drei festgelegten Buchstaben beliebig oft vorkommen, wird die Menge schon deutlich größer: AAA, AAB, AAC, ABA, ACA, ABB, ABC, ACC, ACB, BBB, BBA, BBC, BAB, BCB, BAA, BAC, BCC, BCA, CCC, CCA, CCB, CAC, CBC, CAA, CAB, CBB, CBA. In diesem Fall gibt es also schon 27 verschiedene Buchstabenkombinationen.

Rechnung für A B C:

Da es immer aufwendiger wird, die Lösungsvarianten einzeln aufzuschreiben, ist es mit höherer Anzahl von Variablen immer wichtiger, eine rechnerische Lösung zu finden. Um solche Formeln zu verstehen, ist es hilfreich, mit der einfachsten Variante zu beginnen.
Drei Buchstaben A, B, C dürfen genau einmal eingesetzt werden. Die Rechnung lautet also 3*2*1=6

Dürfen die drei Buchstaben mehrfach genutzt werden, lautet die Rechnung 3*3*3=27.

Menge Alphabet:

Besteht die Menge an Buchstaben wie in unserem Alphabet aus 26 Buchstaben, die bei jeder Kombination genau nur einmal vorkommen dürfen, wird die Formel folgendermaßen aussehen nämlich 26*25*24=15 600. Die Menge der Möglichkeiten ist also schon sehr hoch.

Dürfen sämtliche Buchstaben aus mehrfach vorkommen, sieht die Rechnung folgendermaßen aus. 26*26*26=17 576

Rechnung für das gesamte Alphabet:

Die Erklärungen der beiden Rechenansätze ist so zu erklären. Bei verschieden eingesetzten Buchstaben besteht die Menge aller Buchstaben genau au 26 Teilen. Wird einer davon genutzt, verringert sich die Menge genau um einen Buchstaben auf 25. Für den dritten Buchstaben ist die Auswahl an verschiedenen Buchstaben dann nur noch 24, denn zwei wurden schon genutzt.

Dürfen die Buchstaben mehrfach eingesetzt werden, variiert die Rechnung etwas. Da nun bei jedem Rechenschritt wieder die genau selbe Anzahl an Buchstaben bestehen bleibt, ist auch der Faktor 26 immer derselbe.

Zusatzbuchstaben:

Sollen auch die Umlaute Ä, Ö und Ü hinzugenommen werden, vergrößert sich die Anfangsmenge um weitere drei Buchstaben. Mit den Umlauten heißen die zwei Rechnungen damit 29*28*27=21 924. Dürfen auch sie erneut genutzt werden heißt das Ergebnis 29*29*29=24 389 und ist noch einmal höher.

Formel:

Diese Rechnung lässt sich für alle Formen von Mengen anwenden. In jedem Fall muss zunächst die genaue Größe der Grundmenge differenziert angegeben werden. Nur wenn die Aufgabenstellung eindeutig formuliert ist, kann auch ein klares Ergebnis daraus berechnet werden. Da solche Rechenwege auch als allgemeingültige Formeln angegeben werden, sollte dies auch in diesem Fall zum Schluss noch beschrieben werden.
n steht für die Größe einer Menge. Verringert sich die Menge um ein Teil, heißt sie n-1. Die daraus folgende Formel kann also auch allgemeingültig aufgeführt werden.

Fazit:

Diese und jede andere Menge kann eindeutig berechnet werden. Besonders große und unübersichtliche Mengen sind oft sehr verwirrend. Die angegebenen Ergebnisse sind so hoch, dass sie sich nur schwer überprüfen lassen. In diesem Fall ist es hilfreich, zuerst eine überschaubare Menge zu berechnen, um so den gesamten Ablauf zu verstehen. Anschließend kann dann mit großen Mengen gerechnet werden. Ist das System einmal verstanden, wird es nicht mehr zu einem Problem mit der Rechnung kommen. Die Größe der Menge ist genauso keine Schwierigkeit wie auch die Menge der Wiederholungen.

Anatoli Bauer

Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)