Zufallsexperimente ( Einstufig / Mehrstufig ) berechnen – Formel, Beispiele & Video

In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit den sogenannten Zufallsexperimenten. Wir erklären euch was überhaupt Zufallsexperimente sind und erkläutern euch den Unterschied zwischen einstufigen und mehrstufigen Zufallsexperimenten.

Wir fangen natürlich mit einer Begriffserklärung der mathematischen Begriffs, Zufallsexperiment, an. Bei einem Zufallsexperiment handelt es sich um einen Vorgang, dessen Ergebnisse man nicht vorhersehen kann, man muss also erst einmal den Vorgang zu Ende führen und dann kann man die Ergebnisse sehen. Ein Zufallsexperiment hat immer mindestens zwei Ergebnisse. Um sich das etwas einfacher vorzustellen haben wir ein simples Beispiel: wenn man einen Würfel wirft, kann man nicht während der Wurfs wissen, welche Zahl man würfelt, man muss erst warten bis der Würfel gelandet ist.

Das einstufige Zufallsexperiment

Zufallsexperimente die nur ein einziges Mal durchgeführt werden können, nennt man einstufige Zufallsexperimente. Dies ist z.B. der Fall beim oben erwähnten Beispiel mit dem Würfel oder bei einem Wurf einer Münze. Meistens muss ein Versuch mehrfach ausgeführt werden, so könnte man beispielsweise wenn man einen Würfel wirft, die Zahl 4 würfeln und wenn man direkt beim 1. Versuch eine 4 würfelt, könnte man glauben, dass der Würfel immer nur die Zahl 4 würfelt. Man sieht also, dass die Aussagen eines einstufigen Zufallsexperimentes, nicht wirklich aussagekräftig sind. Kommen wir dann nun zu den mehrstufigen Zufallsexperimenten um den Unterschied zu einstufigen Zufallsexperimenten zu lernen.

Das mehrstufige Zufallsexperiment

Wenn ein zufälliger Vorgang mehrmals hintereinander durchgeführt wird, ist die Rede von einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Wenn man beispielsweise einen Würfel mehrmals hintereinander wirft, dann spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Wenn ein mehrstufiges Zufallsexperiment aus k-Teilversuchen besteht, dann nennt man dieses Zufallsexperiment ein k-stufiges Zufallsexperiment. Das Ergebnis ist der Ausgang des Zufallsexperimentes und die Ergebnismenge kann alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes enthalten.

Ein Baumdiagramm eignet sich sehr gut um die Ergebnisse von mehrstufigen Zufallsexperimenten darzustellen, denn bei denen enthalten sich alle Möglichkeiten die beim Zufallsexperiment auftreten. Damit ihr dies etwas besser verstehen könnt, haben wir wieder einmal ein Beispiel für euch.

Beispiel:

Wir führen einen Münzwurf durch. Das was uns zunächst bei diesem Experiment interessiert, ist die Ergebnismenge „M“, dann wird im folgenden die Wahrscheinlichkeit ermittelt, beim Münzwurf zwei Mal das Ergebnis „Wappen“ zu erreichen.

Lösung:

Bei einem Münzwurf kann man entweder das Wappen oder eine Zahl als Ergebnis erzielen und somit lautet unsere Ergebnismenge: M = {Wappen , Zahl}. Nun können wir ein Baumdiagramm zeichnen mit W für Wappen und Z für Zahl

Die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf Wappen oder Zahl zu werfen, ist genau gleich groß. Also haben wir für beide Ergebnisse eine Wahrscheinlichkeit von 50% oder 0,5 und das notieren wir in der ersten Stufe. Wenn wir Wappen-Wappen werfen, folgen wir dem obersten Pfad bis zu seinem Ende (WW). Bei einem Wurfergebnis von Zahl-Wappen beginnen wir beim unteren Pfad Z und gehen dann zu W. Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein gewissen Pfad eintritt, multiplizieren wir die beiden Werte miteinander, z.B Wappen-Wappen wäre dann 1/2 · 1/2 = 1/4.

Weiteres Beispiel:

• bei einem Münzwurf oder dem Würfeln handelt es sich um eine sehr besondere Art eines Zufallsexperiments: ein Laplace-Experiment, bei diesem sind die möglichen Ergebnisse gleichwahrscheinlich
• beim dem Ziehen von einem Loses aus einer Lostrommel dabei sind die möglichen Ergebnisse, eine Niete oder ein Gewinn, diese sind nicht gleichwahrscheinlich, bei Gewinnlosen sind normal viel seltener Nieten dabei
• bei den Marktforschungsumfragen innerhalb einer Fußgängerzone, bei welcher Passanten befragt werden, ob sie bestimmte Marken kennen.
Je nachdem, ob man einen Versuch einmalig, zweimalig oder noch öfter hintereinander vornimmt (eine Münze wird dabei 2-mal geworfen oder eben mehrmals …), dabei spricht man von einem einstufigen, zweistufigen und auch mehrstufigen Zufallsexperiment.
Mögliche Ausgänge von einem Zufallsexperiment bezeichnet man Elementarereignisse oder auch Ergebnisse. Bei dem einmaligen Münzwurf wären Elementarereignisse Kopf und Zahl oder auch bei einem einmaligen Würfeln die jeweiligen Augenzahlen 1 bis 6, die dann einen jeweiligen Ergebnisraum, also die Ergebnismenge Ω bilden.
Aus diesen Elementarereignissen lassen sich Ereignisse zusammenstellen beispielsweise ein Ereignis, die gerade Zahl, welche beim Würfeln, aus den 3 Elementarereignissen 2, 4, 6 besteht, aber auch Elementarereignisse selbst können als Ereignisse betrachtet werden.
Es gibt also sichere Ereignis beispielsweise beim Würfeln: wo eine Zahl kleiner ist als 7 und den sogenannten unmöglichen Ereignissen beispielsweise beim Würfeln: eine Zahl > 6).