In dieser Lektion wird dir erzählt, was eine Wendetangente ist und wie man sie berechnet.
Nun erklären wir den Begriff Wendetangente. Es wäre wichtig, dass ihr einige Vorkenntnisse mitbringt, damit Ihr den Erklärungen folgen könnt. Sollte der eine oder andere von euch mit dem folgenden Thema aber gar nichts anzufangen wissen, so sollte er das dringend nachlesen und sich besser informieren. Es könnte sich mächtig kompliziert anhören. Alle anderen können gleich mit der Wendetangente starten. Wir werden folgende Regeln behandeln:
- Die Fakotorregel und die Summenregel
- Die Kettenregel
- Die Tabelle von Ableitungen
- Die erste und zweite Ableitung
- Die Extremwerte: mit Hochpunkt und Tiefpunkt
- Den Wendepunkt berechnen
Was versteht man unter einer Wendetangente?
Wir erinnern uns: Wenn wir den Wendepunkt graphisch betrachten, dann handelt es sich bei dem Wendepunkt um einen Punkt, bei dem der Funktionsgraph das Krümmungsverhalten ändert. Der Graph wechselt hier die Seiten, entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Hat man diesen Punkt gefunden, dann legt man genau an ihm eine Tangente an: die Wendetangente. Sie ist eine Tangente durch den Wendepunkt. In der Grafik wird der Wandepunkt markiert:
An diesem Punkt wird nun eine Tangente angelegt. Wenn ihr die Grafik mit der Hand zeichnet dann sieht das wie folgt aus:
Wenn ihr die Wendetangente per Hand zeichnet, wird dies natürlich nicht immer ganz genau ausfallen. Deshalb ist es sinnvoller sie zu berechnen. Genau diese Methode wird im folgenden Absatz erklärt.
Wir berechnen eine Wendetangente
Wenn wir die Gleichung der Wendetangente berechnen, brauchen wir dazu den Wendepunkt.
Dazu müssen wir wissen, wie man den Wendepunkt berechnet. Kennt man die Koordinaten des Wendepunktes, kann man ihn berechnen. Mit den nächsten Schritten werden wir beides ermitteln:
Der Wendepunkt wird gesucht
- Dabei leiten wir die Funktion f(x) dreimal ab.
- Dann setzen wir die zweite Ableitung Null und errechnen den X-Wert, wenn dies möglich ist
- Ist dies machbar, wird dieser X-Wert in die dritte Ableitung eingesetzt
- Wenn das Ergebnis ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor
- Dann wird der X-Wert in f(x) eingesetzt, damit sich der zugehörige Y-Wert bestimmen lässt
Die Wendetangente wird ermittelt
- Die Funktion f(x) wird dreimal abgeleitet
- Die zweite Ableitung Null wird gesetzt; der X-Wert wird berechnet; wenn möglich
- Wenn machbar, wird dieser X-Wert in die dritte Ableitung eingesetzt.
- Fällt das Ergebnis ungleich Null aus, liegt ein Wendepunkt vor
- Wir setzen den X-Wert wird in f(x) ein, und bestimmen den zugehörigen Y-Wert
Wir ermitteln die Wendetangente
- Die Wendetangente: Sie ist eine Gerade der Form „y = mx + b“. Dazu müssen die Variablen m und b bestimmt werden
- Die X-Koordinate vom Wendepunkt, wird in die erste Ableitung eingesetzt – wir erhalten „m“
- Dann berechnen wir die Schnittstelle „b“ mit der Y-Achse
- In die Geradengleichung werden die Werte eingesetzt und wir erhalten die Wendetangente
Ein Beispiel:
An Hand des folgenden Beispiels zeigen wir euch die Berechnung einer Wendetangente. Dabei gehen wir Schritt für Schritt vor und berechnen sowohl den Wendepunkt, wie auch die Wandetangente.
Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)
