Der folgende Text erklärt Definiotslücken sowie hebbare Definitionslücken und auch Pole sowie Nullstellen. Zuerst werden die Begriffe erklärt und dann anhand von Beispielen dargestellt.

In dem Artikel Pole und Nullstellen werden bereits grundlegende Informationen zu Polen und Nullstellen gegeben. Hier wird dies jedoch noch ausführlicher gestaltet und auch auf weitere Begriffe eingegangen.

Erklärungsvideo:

Auch in einem Video kann man sich dieses Thema erarbeiten. Das Video beinhaltet ebenfalls passende Beispiele. Mit nur einem Klick kann man auf den Vollbildmodus wechseln. Dieses Video ist auch als Hebbare Definitonslücke Video zu finden. Falls es Probleme beim Abspielen geben sollte kann der Artikel Video Probleme weiterhelfen.

Gebrochenrationale Funktionen sowie Begriffe

Nun betrachten wir die gebrochenrationalen Funktionen, bei denen wir auf Nullstellen, Pole sowie (hebbare) Definitionslücken konzentrieren. Zuerst beginnen wir mit einigen Definitionen dieser Begriffe:

  • Nullstellen : Bei einer gebrochenrationalen Funktion ist an den Stellen der y-Wert = 0, an denen das Zählerpolynom 0 ist und das dazugehörige Nennerpolynom ungleich 0 ist.
  • Pole : Bei einer gebrochenrationalen Funktionen bezeichnet man Stellen als Polstellen, welche kein Nennerpolynom haben sowie das Zählerpolynom einen Wert von Null trägt.
  • Definitionslücke : Wenn die Nennerfunktion eine Nullstelle hat, dann ist hier die Funktion nicht definiert. Diese Stelle ist die so genannte Definitionslücke. Diese ist dann entweder ein Pol oder eine hebbare Definitionslücke.
  • Hebbare Definitionslücke: Wenn Zähler sowie Nenner eine gemeinsame Nullstelle aufweisen, dann werden diese in die beiden Linearfaktoren geteilt und dann gekürzt. Somit können Definitionslücken behoben werden und damit den Definitionsbereich erweitern.

Damit man eine gebrochenrationale Funktion nun auf die obigen Begriffe untersuchen zu können, müssen jetzt jeweils die Nullstellen von Zähler und Nenner gefunden werden. Hierfür benutzt man folgende Rechenwege: Ausklammern, PQ-Formel, ABC-Formel, Polynomdivision, o.ä.. Im folgenden wird dies mit Beispielen dargestellt.

Beispiele für (Hebbare) Definitionslücken, Nullstellen sowie Pole

Beispiel 1:

Eine gebrochenrationale Funktion f(x)=(x+1):(x²-x-6) ist gegeben. Nun wird der Zähler mit 0 gleichgesetzt, dadurch erhalten wir die Stelle x1=-1. Danach wird auch der Nenner mit 0 gleichgesetzt. Durch die PQ-Formel kommt man hier zu folgendem Ergebnis x2=3 und x3=-2. Aufgrund er verschiedenen Werte erhalten wir x1 als Nullstelle und x2 sowie x3 als Pole der Funktion.

Beispiel 2:

Die gebrochenrationale Funktion f(x)= (x²+4x+3):(x³+x²-6x) ist gegeben. Zuerst wird nun der Zähler mit der PQ-Formel behandelt. Dadurch erhält man x1=-1 sowie x2=-3. Nun ist der Nenner dran, bei dem man x ausklammern kann und somit x3=0 erhält. Dieses Ergebnis erhält man, da bei dem Nenner durch das Einsetzten von 0 als x der gesamte Nenner sofort 0 ergibt. Nach dem ausklammern hat man noch folgende Gleichung übrig: x²+x-6=0, diese lösen wir erneut mit der PQ-Formel. Dadurch erhalten wir x4=2 sowie x5=-3. Mit einem Blick auf die Ergebnisse fällt folgendes auf: x2=x5 somit ist diese Stelle eine hebbare Defintionslücke. Die restlichen Ergebnisse sind x1=-1, welches eine Nullstelle ist, und x3=0 sowie x4=2, diese sind zwei Polstellen.

Beispiel 3:

Eine gebrochenrationale Funktion f(x)=(2(x-2)²):((x-1)(x-2)) ist gegeben. Auffällig ist hier, dass sowohl im Zähler als auch im Nenner (x-2) vorliegt. Dadurch erkennt man bereits eine hebbare Definitionslücke an der Stelle x=2. Wenn man nun (x-2) kürzt so erhält man (2(x-2)):(x-1). Dadurch haben wir bei x=2 auch noch eine Nullstelle und bei x=1 eine Polstelle.

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