Dieser Artikel thematisiert das Bernoulli-Experiment und die Bernoulli-Kette. Es wird die Frage beantwortet, um was für ein Experiment es sich handelt und was die Bernoulli-Kette ist. Nachstehend werden auch sinnvolle Beispiele geben, die die Problematik veranschaulichend darstellen. Dieser Aufgabentyp zählt zur Mathematik, genauer zur Stochastik.

Definition eines Zufallsexperiments

Unter einem Zufallsexperiment versteht man ein Experiment, das zumindest zweimögliche Ausgänge hat, die am Anfang nicht bestimmbar sind. Das heißt man weiß im Vorhinein nicht welches Ergebnis bei dem Experiment eintreten wird. Um es bildlich darzustellen: Man nimmt einen Würfel und würfelt ihn. Man weiß vorher nicht auf welcher Zahl er stehen bleibt.

Das Bernoulli-Experiment

Bei dem Bernoulli-Experiment handelt es sich auch ein Zufallsexperiment, jedoch mit einer Einschränkung. Es gibt hierbei nur zwei mögliche Ergebnisse in der Ergebnismenge. Ein Beispiel hierfür wäre der Wurf einer Münze. Diese kann entweder auf der Kopf-Seite landen oder auf der Zahl-Seite.

Bei dem Bernoulli-Experiment hat jedes Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit von 0,5. Zusammen ergibt das dann 1. (0,5 Kopf-Seite + 0,5 Zahl-Seite)

Die Bernoulli-Kette

Von einer Bernoulli-Kette wird dann gesprochen, wenn das Bernoulli-Experiment vielfach wiederholt wird. Immer mit den gleichen Bedingungen. Dabei steht n für die Zahl der Wiederholungen des Experiments.

Zum Beispiel:

Man nimmt eine Münze und lässt diese 30 Mal auf den Tisch fallen. Es ist ein Bernoulli-Experiment, da es nur zwei Ergebnisse geben kann (0,5 Zahl-Seite + 0,5 Kopfseite) und diese können vor dem Experiment nicht vorhergesehen werden. In diesem Fall wird das Bernoulli-Experiment n=30 wiederholt.

Einige Beispiele

Der Münzwurf kann nur 2 Ergebnisse haben: Kopf oder eben Zahl (in sehr selteneren Fällen kommt die Münze auch dabei auf der Seite auf so einen außergewöhnlichen Fall ignorieren wir).
Auch ein Wurf eines Würfels könnte man ebenso als ein Bernoulli-Versuch beschreiben (obwohl hier eigentlich sechs Ergebnisse möglich sind). Dabei könnte man beispielsweise ungerade Augenzahlen 1, 3 und 5 als einen Erfolg und gerade Augenzahlen 2, 4 und 6 als einen Mißerfolg ansehen. So hat man dann wieder nur zwei mögliche Ergebnisse: die Ungerade Augenzahl und die Gerade Augenzahl.
Ein Bernoulli-Experiment kann einmal oder auch mehrmals durchgeführt werden, in letztem Fall liegt eine Bernoulli-Kette vor.

Voraussetzung für eine Bernoulli-Kette ist, dass bei einer Wiederholung das Experiment unter gleichen Voraussetzungen abläuft wie beim ersten mal, da sich sonst alle Voraussetzungen bei jedem Zug ändern würden.
Bei sehr großen Grundgesamtheiten wird dies nicht ganz so streng gesehen, da eineWahrscheinlichkeit sich nur geringfügig ändern kann.

Alternativer Begriff: Bernoulli-Versuch.

Ein Beispiel für einen Bernoulli-Versuch

Ein Würfel wird insgesamt 6 mal geworfen. Wie hoch ist dabei eine Wahrscheinlichkeit, dass genau insgesamt 4 mal eine Zahl >= 5 kommt?
Dabei gibt es also 2 mögliche Ergebnisse: >= 5 oder nicht >= 5 (bzw. <= 4). Wahrscheinlichkeiten für eine Zahl >= 5 ist also 2/6, eine Gegenwahrscheinlichkeit ist dabei 1 – 2/6 = 6/6 – 2/6 = 4/6.
Eine Wahrscheinlichkeit für 4 mal eine Zahl >= 5 bei je 6-maligem Würfeln ist dabei:
{ 6! / [ 4! × (6 – 4)! ] } × 2/6 4 × 4/6 (6 -4)
= { (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / [ (4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1) ] } × 1/3 4 × 2/3 2
= 15 × 1/3 4 × 2/3 2 = 0,0823 (also ca. 8,2 %).
Hier ist das Zeichen ! für eine Fakultät, 6 ist dabei die Anzahl von den Versuchen und die 4 eine Anzahl der Erfolge.

Eine Erläuterung

2/6 (oder gekürzt 1/3) ist eine Wahrscheinlichkeit, bei welcher eine Zahl >= 5 kommt, also 2/6 × 2/6 ist eine Wahrscheinlichkeit, dass zweimal die Zahl >= 5 kommt … und (2/6)4 ist dann eine Wahrscheinlichkeit, dass viermal die Zahl >= 5 kommt; analog dazu ist eine Wahrscheinlichkeit, dass zweimal eine Zahl nicht >= 5 ist 4/6 × 4/6 = (4/6)2.
Es gibt also mehrere Möglichkeiten, in der die Anordnungen von einem Würfel 4 mal >= 5 und 2 mal <= 5 sind, beispielsweise die ersten 4 x >= 5 und die letzten 2 x <= 5 oder die ersten 3 x >= 5, dann zweimal <=5 und dann auch beim 6. Wurf wieder >= 5, … eine Anzahl von Möglichkeiten ist durch einen Term { 6! / [ 4! × (6 – 4)! ] } = 15 genau bestimmt, ein Term entspricht dabei dem Binomialkoeffizienten B (6 über 4).

Das Bernoulli-Experiment und seine Verteilung

Bei dem Bernoulli-Versuch interessieren sich verschiedene Fragestellungen, aus denen ergeben sich entsprechende Verteilungen:

  •  wie hoch ist dabei eine Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl an Erfolgen, bei jeweils einer bestimmten Anzahl an Versuchen die Binomialverteilung
  •  wie lange dauert es dabei bis zu einem ersten Erfolg (beispielsweise bis man dann eine 6 würfelt bei einem Brettspiel)? Die Geometrische Verteilung
  •  wie hoch ist dabei eine Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau eine gewisse Anzahl aus einer Ziehung, also ein Treffer ist? Die Hypergeometrische Verteilung.

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