Urnenmodell mit & ohne Zurücklegen, Formeln – Wahrscheinlichkeit

Dieser Artikel befasst sich mit dem Urnenmodell. Hierbei wird euch erklärt, was man darunter verstehen darf, dazu liefern wir euch zum besseren Verständnis passende Beispiele. Der Artikel gehört in den Bereich Stochastik / Mathematik.

Das Urnenmodell beschreibt ein Gefäß, etwa einen Kasten oder wie der Name schon sagt eine Urne, in der Kugeln vorhanden sind.
Aus dem Gefäß wird nun per Zufall eine bestimmte Menge an Kugeln gezogen und deren Nummer aufgeschrieben.
Man kann dabei zwischen zwei grundverschiedenen Varianten unterscheiden:

1. Das Urnenmodell mit Zurücklegen: Eine Kugel wird aus der Urne gezogen. Nun wird die Nummer notiert, die Kugel wird anschließend wieder in das Gefäß zurückgelegt. Die Anzahl an Kugeln in dem Gefäß ist somit stetig die selbige.
2. Das Urnenmodell ohne Zurücklegen: Eine Kugel wird aus der Urne gezogen. Nun wird die Nummer notiert, die Kugel wird anschließend weggelegt und nicht wieder zurückgelegt. Die Anzahl der Kugeln in dem Gefäß reduziert sich also bei jeder einzelnen Ziehung.

Ein kleiner Hinweis: Die Idee die hinter dem Urnenmodell steckt, kann auch auf andere Problematiken übertragen werden. Damit der Artikel jedoch überschaubar und verständlich bleibt, verzichten wir in diesem Artikel darauf und bleiben bei der Ziehung von Kugeln aus einem Gefäß.

Das Urnenmodell mit Zurücklegen

Das Prinzip des Urnenmodells mit Zurücklegen ist einfach: Eine Kugel wird aus der Urne gezogen. Die Nummer wird nun notiert. Die Kugel wird anschließend wieder in das Gefäß gelegt. Somit bleibt die Anzahl an Kugeln im Gefäß stets konstant. Dafür gilt folgende Regel: Aus einem Gefäß mit n Kugeln wird eine Anzahl von k Kugeln gezogen. Für eine geordnete Stichprobe ergeben sich nun g = n^k Möglichkeiten.

1.Beispiel – Möglichkeiten

In einem Gefäß sind 28 Kugeln enthalten. Insgesamt gibt es 4 Ziehungen, wobei die Kugeln nach jeder Ziehung wieder zurück in das Gefäß gelegt werden.
Berechne nun wie viele Möglichkeiten einer Entnahme vorhanden sind.

Lösung: Wir besitzen eine Anzahl von 28 Kugeln und führen 4 Ziehungen durch. So ergibt sich g = 28 ^. 28 ^. 28 ^. 28 = 28⁴ = 614656 Möglichkeiten.

Nun kann es passieren, dass nicht alle Kugeln aus dem Gefäß gezogen werden.
Nach der Ziehung werden sie doch zurückgelegt. Für diesen Fall gibt es ebenfalls eine Formel um die Möglichkeiten zu berechnen. Hierfür wird der Binomialkoeffizient benötigt.

Die Überlegung dabei ist folgende: Aus dem Gefäß mit der Anzahl von n Kugeln werden ungeordnete Stichproben vom Umfang k entnommen. Deshalb lässt sich die Anzahl der Möglichkeiten folgendermaßen berechnen zu:

2.Beispiel – Stichprobe

Aus einem Gefäß mit 8 Kugeln wird 5 mal eine ungeordnete Stichprobe gezogen.
Wie lautet die Anzahl an Möglichkeiten?

Lösung: Aus dem Text können wir erkennen, dass k = 5 und n = 8 entspricht. Diese Werte müssen in folgende Formel eingefügt werden, sodass wir die Lösung erhalten.

Das Urnenmodell ohne Zurücklegen

Das Prinzip des Urnenmodells ohne Zurücklegen ist einfach: Eine Kugel wird aus der Urne gezogen. Die Nummer wird nun notiert. Die Kugel wird anschließend nicht wieder in das Gefäß zurückgelegt. Somit ändert sich die Anzahl an Kugeln im Gefäß mit jeder Ziehung.
Dafür gilt folgende Regel: Soll aus dem Gefäß mit der Anzahl von n Kugeln ein Umfang von n gezogen werden – es werden folglich alle Kugeln entnommen – so ergibt sich für die geordnete Stichprobe eine Anzahl von g = n! Möglichkeiten.

1.Beispiel – Möglichkeiten

In dem Gefäß befinden sich 6 Kugeln. Alle Kugeln werden bei der Ziehung nacheinander gezogen. Was ist die Anzahl an Möglichkeiten für eine Ziehung?

Lösung: g = 6! = 6 ^. 5 ^. 4 ^. 3 ^. 2 ^. 1 = 720 Möglichkeiten

Natürlich kann es passieren, dass nicht alle Kugeln aus dem Gefäß gezogen werden. Für diesen Fall gibt es auch eine Formel.
Hierfür benötigen wir erneut den Binomialkoeffizienten.
Wir überlegen wie folgt: Wenn aus einem Gefäß mit n Kugeln ungeordnete Stichproben vom Umfang k entnommen werden, ergibt sich diese Menge an Möglichkeiten.

3.Beispiel – Stichprobe

In einer Urne befinden sich 10 Kugeln. Nun werden 6 Kugeln aus dieser gezogen, ohne die Kugeln zurückzulegen. Berechne die Anzahl an Möglichkeiten.

Lösung: Laut Aufgabenstellung ist k = 6 und n = 10. Nun setzen wir ein.