Ungerade Funktion berechnen – Symmetrie, Beispiele, Formel & Video

Im Folgenden werden wir uns eingehend mit ungeraden Funktionen befassen. Nachdem wir zunächst erklären, was ungerade Funktionen sind, werden wir anschließend das Ganze noch einmal an mehreren Beispielen verdeutlichen.

Betrachtet man eine Funktion f(x) mit einem symmetrischen Definitionsbereich D, so heißt diese ungerade, wenn für alle x aus D gilt, dass f(-x) = -f(x) ist. Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Ein einfaches Beispiel dazu ist die Funktion f(x) = x³, welche ihr unten abgebildet findet. Wie man leicht sieht, kann man einen Punkt auf dem Kurvenverlauf nehmen und diesen um den Ursprung, hier in rot, spiegeln und erhält wieder einen Punkt, der auf der Kurve liegt.

Jedoch sind die meisten ungeraden Funktionen nicht ganz so einfach zu zeichnen wie die Obige, so dass es sinnvoller ist, sich dem Problem rechnerisch zu nähern. Wie man das tut, zeigen wir in den folgenden Beispielen.

Rechnerische Beispiele

Die Definition von oben verrät einem eigentlich schon, wie man rechnerisch nachprüft, ob eine Funktion ungerade ist. Zunächst bestimmt man f(-x) und -f(x) und prüft dann, ob beide Funktionen übereinstimmen. Gilt Gleichheit, so handelt es sich bei der Funktion f(x) um eine ungerade Funktion.
Wie das konkret geht, zeigen die folgenden Beispiele.

1. Beispiel

Die obige Grafik hat uns zwar bereits gezeigt, dass f(x) = x³ ungerade ist, aber wir wollen das noch einmal rechnerisch prüfen. Dazu bestimmen wir f(-x) und -f(x) und schauen, ob f(-x) = -f(x) gilt. Ist dies der Fall, so ist die Funktion ungerade.

2. Beispiel

Nun sei f(x) = -3x³+2x und es soll wieder geprüft werden, ob die Funktion ungerade, also punktsymmetrisch zum Ursprung, ist. Dafür gehen wir ebenso wie im ersten Beispiel vor.

3. Beispiel

Zum Schluss betrachten wir die Funktion f(x) = x²+x und gehen wieder genauso wie vorher vor, indem wir f(-x) und -f(x) auf Gleichheit prüfen.