Dieser Artikel handelt von der Umkehrfunktion. Hierbei werden die Grundlagen der Umkehrfunktion erklärt und was man darunter versteht und wie sie zu berechnen ist. Unsere Erklärungen werden zum besseren Verständnis mit passenden Beispielen verdeutlicht.
Der Artikel befasst sich mit der allgemeinen Mathematik.
Bevor man sich den Umkehrfunktionen widmet, empfiehlt es sich die Grundlagen der Linearen Funktion, sowie die Grundlagen der Quadratischen Funktion anzueignen.
Mit diesen Grundkenntnissen fällt das Bilden der Umkehrfunktion, als auch der Ableitung wesentlich leichter und macht auch
deutlich mehr Spaß.
Grundlagen der Umkehrfunktion
Oftmals begegnen wir in der Mathematik Funktionen der Art y = f(x), beispielsweise y = 6x + 4 oder y = 5x + 2. Wird so eine Funktion nun nach x hin aufgelöst und vertauscht man im weiteren Verlauf x mit y, so erhält man die Umkehrfunktion, oftmals als inverse Funktion bezeichnet.
Solch eine Umkehrfunktion wird auch mit f⁻¹ beziffert.
Nun ist diese Vorgehensweise nicht immer möglich, sehen wir uns also die grundlegende Vorgehensweise an, bevor wir uns mit einigen Beispielen beschäftigen.
Vorgehensweise – Allgemein
- Wir lösen die Funktionsgleichung y = f(x) nach nach x auf
- Anschließend werden die Variablen x und y vertauscht
Lineare Funktionen – Beispiel 1
Aufgabenstellung ist die Umrechnung der linearen Funktion y = 2x + 1. Ziel ist es eine gültige Umkehrfunktion zu erstellen.
Lösen wir nun nach x auf und vertauschen letztendlich x und y.
Da jedem x und y hier ein Wert zugeordnet werden kann, ist es uns möglich die Umkehrfunktion zu bilden.
In diesem Beispiel erhalten wir y = 0,5x – 0,5.
Hier die einzelnen Rechenschritte.
y = 2x + 1
y – 1 = 2x
x = 0,5y – 0,5
Vertauschen wir:
y = 0,5x – 0,5
Umkehrfunktion graphisch dargestellt
Sehen wir uns die graphisch dargestellte Umkehrfunktion nun einmal genauer an.
Die Ausgangsfunktion y = 2x + 1 hier mit rot gekennzeichnet, die Umkehrfunktion y = 0,5x – 0,5 mit grün.
Mit x = y wurde im 1. und 3. Quadranten noch die Winkelhalbierende eingezeichnet.
Wird ein Punkt der roten Geraden nun an der Winkelhalbierenden gespiegelt, so erhalten wir einen Punkt, der auf der grünen Geraden liegt.
Lineare Funktionen – Beispiel 2
Betrachten wir einmal die Funktion y = 3x – 5. Hier wird auf das selbe Prinzip, erst nach x hin auflösen und anschließend x mit y vertauschen, die Umkehrfunktion gebildet. Da es sich um eine lineare Funktion handelt, kann die Umkehrfunktion problemlos gebildet werden.
y = 3x – 5
y + 5 = 3x
x = y/3 + 5/3
Vertauschen wir:
y = x/ + 5/3
Quadratische Funktionen – Beispiel 3
Liegt eine Quadratische Funktion, etwa y = x², vor, haben wir ein Problem,
da hier keine eindeutige Zuordnung erfolgen kann.
Dem y-Wert sind hier nämlich 2 Werte zugeordnet, denn sowohl x = -2 als auch x = 2 ergeben y = 4.
Um die Umkehrfunktion trotzdem herleiten zu können, muss man nun zwischen dem negativen und dem positiven Wert unterscheiden.
Betrachten wir nun die Umkehrfunktion für den positiven und den negativen x-Wert.
y = x²
|x| = √y
f₁⁻¹ : y = -√x
f₂⁻¹ : y = √x
E-Funktionen – Beispiel 4
Wollen wir die Umkehrfunktion der Funktion y = e^x bilden, setzen wir den natürlichen Logarithmus ein. So erhalten wir x = ln(y).
Durch vertauschen erhält man als Umkehrfunktion y = ln(x).
y = e^x
x = ln(y)
Vertauschen wir:
y = ln(x)
