Die Ableitungsregeln gehören zu den Grundlagen der Mathematik und spielen vor allem in der gymnasialen Oberstufe eine bedeutende Rolle.
Die Potenzregel oder Faktorregel
Begonnen werden soll mit der sogenannten Potenz- oder auch Faktorregel. Diese wird immer angewandt, denn eine Potenz vorliegt. Für die richtige Ableitung wird die entsprechende Formel benutzt:
Die Ableitung wird also gebildet, in dem von der Potenz eins abgezogen wird. Die ursprüngliche Potenz (n) wird dann vor das x gezogen.
Beispiel für die Potenz-/Faktorregel:
Um die Ableitung zu bilden, muss die 3 vor dass das x gezogen werden. Die Potenz wird anschließend um 1 reduziert.
Die Summenregel
Die Summenregel wird immer angewandt, wenn eine endliche Summe vorliegt. Sie besagt, dass immer gliedweise abgeleitet wird. Was sich im ersten Moment kompliziert anhört, wird am besten anhand von Beispielen deutlich.
Beispiel für die Summenregel:
Es wird also deutlich, dass hier letztendlich nur die Potenzregel angewendet wird. Die Einzelteile der Summe werden dabei eigenständig betrachtet und ergeben zusammen die Ableitung.
Die Produktregel
Wie bereits angesprochen, kann die Summenregel nicht verwendet werden, wenn in der Funktion einer Multiplikation vorliegt. Denn in diesem Fall wird die Produktregel angewandt. Um diese erklären zu können, ist eine Formel jedoch unerlässlich.
Im ersten Moment, mag diese Formel vielleicht etwas verwirrend wirkten, die Berechnung mit ihr ist jedoch relativ simpel.
Wichtig ist, sich in Erinnerung zu rufen, dass der Strich oberhalb des u und des v für eine Ableitung steht. Um also die gesamte Ableitung bei rechnen zu können, muss erst die Ableitung des u mit dem ursprünglichen v und anschließend die Ableitung des v mit dem ursprünglichen u multipliziert werden.
Beispiel zur Produktregel:
Zuerst muss für die richtige Bezeichnung gesorgt werden.
In diesem Beispiel ist:
Jetzt wird beides getrennt voneinander abgeleitet.
u`= 8x
v`= 2x
Einzelnen Teile werden nun in der Formel zusammengesetzt. Damit ergibt sich sich:
Die Quotientenregel
Die Quotientenregel wird immer angewandt, wenn ein Bruch abgeleitet werden soll.
Es wird ebenso vorgegangen, wie bei der Produktregel. Als erstes werden also das u und das v bestimmt, abgeleitet und anschießend in die Formel für die Ableitung eingesetzt.
Beispiel für die Quotientenregel
y= 3x/(4x+2)
Bestimmung von u und v und die Ableitungen:
u= 3x
u`= 3
v= 4x+3
v`=4
Einsetzen in die Formel:
Die Kettenregel
Die bisher vorgestellten Ableitungsregeln dienen vor allem der Ableitung von einfachen Funktionen. Problematisch wird es jedoch, wenn die Funktion verschachtelt ist. Die Ableitung bildet sich dabei aus dem Produkt der inneren und der äußeren Ableitung. Was sich kompliziert anhört, ist es für die meisten Schüler auch. Deshalb benötigt die Kettenregel besonders viel Übung. Am besten lässt sie sich anhand eines Beispiels erklären.
Beispiel zur Kettenregel
Wie dieses Beispiel zeigt, muss sowohl die Potenz (also die 6), wie auch das Innere der Klammer abgeleitet werden. Um dies zu vereinfachen wird auf die sogenannte Substitution zurückgegriffen. Dabei wird das Innere der Klammer durch ein u ersetzt. Das sieht ein wie folgt aus:
Substitution: u= 4x-10
Die Äußere Funktion ist also:
Dieser Funktion eines ganz normal abgeleitet werden (Potenzregel):
Die innere Funktion ist: 4x-10
Die Ableitung der inneren Funktion lautet: 4
Die einzelnen Teile werden zusammengesetzt
Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)
