Standardabweichung berechnen – Formel, Beispiele & Online Rechner

In diesem Text geht es darum wie man die Standardabweichung korrekt berechnen kann. Das dazu nötige Verfahren sehen wir uns im Folgenden näher an. Dazu rechnen wir euch verschiedene Aufgaben durch. Wofür man die Standardabweichung braucht, klären wir ebenfalls.

Anwendung findet die Standardabweichung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, beziehungsweise Stochastik, wie man sie zur Erstellung von Statistiken benötigt. Ermittelt wird die Stärke der Streuung um einen Mittelwert. Um dieses zu verdeutlichen führen wir euch gleich ein Beispiel vor Augen. Um die Standardabweichung ermitteln zu können muss man folgendes Wissen. Ermittelt werden muss zu allererst der Durchschnitt. Anschließend ermittelt man die Varianz.

Standardabweichung: Online Rechner

Hier müssen die Werte einfach durch ein Komma getrennt eingegeben werden und dann wird die Standardabweichung automatisch berechnet, sobald man auf „Submit“ geklickt hat.

Folgende Schritte sind im Einzelnen notwendig:

• Erster Vorgang: Berechnen Sie den Durchschnitt.
• Zweiter Vorgang: Berechnen Sie die Varianz
• Dritter Vorgang: Berechnen Sie die Standardabweichung

Dies sind also die notwendigen Arbeitsschritte. Wir möchten euch dies in dem folgenden Beispiel aufzeigen.

Eine beispielhafte Aufgabe zur Standardabweichung

Fünf Tage lang schreibt Donald auf, wie viele Minuten er für den täglichen Weg von seinem Bett zum Oval Office benötigt hat. Am Montag benötigte er 8 Minuten, Dienstags benötigte er 7 Minuten, am Mittwoch dauerte es 9 Minuten, Donnerstag sogar 10 Minuten und am Freitag lediglich 6 Minuten. Lasst uns nun die Höhe der Standardabweichung berechnen und ermitteln was uns das Ergebnis verrät.

Der Lösungsweg: Arbeiten wir nun die oben genannten drei Vorgänge ab.

Erster Vorgang: Wir berechnen den Durchschnitt. Wir addieren hier also alle Wegzeiten der einzelnen Tage und dividieren diese durch die Anzahl der dokumentierten und berücksichtigten Tage, also 5.

Wir wissen nun also, dass Donald durchschnittlich 8 Minuten für seinen Weg zum Oval Office benötigt.

Zweiter Vorgang: Da wir nun den Durchschnitt ermittelt haben, sind wir nun in der Lage die Varianz zu berechnen. So bekommen wir heraus, welchen Wert die mittlere quadratische Abweichung der Ergebnisse um deren Mittelwert ergibt.

Es werden wieder alle 5 Wegzeiten über den Bruchstrich geschrieben, aber von den einzelnen Werten wird jeweils der Durchschnittswert abgezogen. Die einzelnen Werte, abzüglich der Standardabweichungen werden in Klammern gesetzt und quadriert. Also (8 – 8) zum Quadrat, plus (7 – 8) zum Quadrat, plus (9 – 8) zum Quadrat usw. Unter den Bruchstrich setzt man nun wieder die Anzahl der Wegzeit-Werte, also 5. Löst man die Formel nun auf kommt man auf das Ergebnis, nämlich 2.

Nun wissen wir, dass die Varianz „2“ ist.

Dritter Vorgang: Wir berechnen die Standardabweichung als Endergebnis. Hierzu müssen wir lediglich die Wurzel aus dieser ziehen. Also die Wurzel aus „2“.

Endergebnis: Wir können nun also sagen, dass Donald´s durchschnittlicher Weg zu seinem Arbeitsplatz, das waren 8 Minuten, im Durchschnitt ca. 1,4 Minuten länger oder kürzer dauert und damit relativ wenig schwankt.

Ihr seht also, dass es sehr einfach ist die Standardabweichung zu bestimmen. Wenn ihr das zwei oder drei mal durchgerechnet habt, sollte dessen Ermittlung in Zukunft für euch ein Kinderspiel sein.

Die Einheit der Standardabweichung

Welche Einheit die Standardabweichung hat, kommt immer ganz darauf an, welche Einheit die Daten haben, welche zu der Berechnung der Standardabweichung verwendet wurden. Dieser kann, wie in dem Beispiel der Familie mit den fünf Kindern, Jahre sein.

Ein Beispiel

Um die Standardabweichung berechnen zu können, gibt es hier folgendes Beispiel:
Zunächst einmal ruft man sich wieder in das Gedächtnis, welche Werte in dem Beispiel mit der Familie mit den fünf Kindern im Alter von 1, 3, 5, 9 und 12 Jahren herausgekommen sind. Diese Werte waren zum einen der arithmetische Mittelwert von 6 und zum anderen die Varianz, welche sich auf 16 konzentrierte. Auch die Standardabweichung σ kann durch die oben erklärte und genannte Formel ausgerechnet werden und beträgt 4, da die Quadratwurzel aus 16 das Ergebnis 4 ergibt.

Interpretiert bedeutet dieser berechnete Wert, dass die Werte, welche in diesem Fall die Alter der Kinder sind, in Bezug auf den berechneten arithmetischen Mittelwert 6, um vier Jahre streut.

Das bedeutet, dass die Standardabweichung des Alters relativ groß ist, da die einzelnen Alter der einzelnen Kinder relativ weit auseinander liegen.
Genau diese Tatsache, dass die Kinder Alterstechnisch weiter auseinander liegen, würde durch die errechnete Standardabweichung widergespiegelt werden.

Geht man von dem Fall aus, dass die Kinder der Familie keinen Altersabstand haben, sondern Fünflinge sind, welche alle sechs Jahre alt sind, dann ist der arithmetische Mittelwert in diesem Fall auch 6. Die Standardabweichung würde in dem Fall, da es was das Alter betrifft, keine Abweichungen und Unterschiede gibt, 0 betragen.

Da in dem oben genannten Beispiel alle Kinder in die Rechnung mit einbezogen und somit voll erfasst wurden, ist in diesem Fall von einer Vollerhebung die Rede. Wenn man jedoch nur eine Stichprobe haben möchte, dann muss man bei dieser auch, genau wie bei der Varianz, darauf achten, dass in diesem Fall das Ergebnis nicht nur die Anzahl der Erfassten geteilt wird, sondern durch die Stichprobenanzahl minus 1.

Diese Stichprobe wird in diesem Fall empirische Stichprobenvarianz genannt und, um sich klar und erkennbar von der oben genannten Standardabweichung abgrenzen zu können, mit dem Kürzel s bezeichnet. Nimmt man die Werte aus dem obigen Beispiel als Ausgangspunkt, dann wäre die Varianz in diesem Fall 20. Die empirische Standardabweichung hingegen entspricht der Wurzel aus dieser Varianz. Die Wurzel aus 20 ist 4,47, weshalb die empirische Standardabweichung in dem Fall bei 4,47 liegt.

Alternative Begriffe

Andere Begriffe, welche jedoch auch die Standardabweichung meinen, sind unter anderem empirische Streuung und mittlere quadratische Abweichung oder auch standard deviation (kurz: SD), so wie die Stichprobenstreuung.

Standardabweichungen vergleichen

Hat man mehrere Standardabweichungen berechnet, dann kann man diese auch miteinander vergleichen. Wenn man diese berechneten Werte miteinander vergleichen möchte, dann ist dies nur möglich und hat nur dann Sinn, wenn die Maßstäbe der Standardabweichungen gleich und identisch sind.

Ist dies nicht der Fall, dann wird es unübersichtlich und der Vergleich der Standardabweichung kann nicht ernst genommen werden. Um dies veranschaulichen zu können, dient, wie folgt das Beispiel der Familie mit den fünf Kindern. Geht man von der Tatsache aus, dass in anderen Ländern das Alter nicht in Jahren gerechnet wird, sondern jeweils in Halbjahren berechnet wird, dann würde das für die Familie aus dem oben genannten Beispiel bedeuten, dass die Kinder nicht mehr die oben genannten Alter hätten, sondern die selben Alter in einen anderen Land 2, 6, 10, 18 und 24 Halbjahre wären.
In diesem Land wäre dann der Durchschnitt des Alters der Kinder 12, die Varianz läge bei 64 und die berechnete Standardabweichung wäre in diesem Land dann 8.

Das bedeutet, dass diese berechnete Standardabweichung doppelt so hoch ist, wie die Standardabweichung der Familie in dem Land, in welchem das Alter in Jahren gerechnet wird. Die Werte unterscheiden sich in diesem Fall in ihren Zahlen, obwohl es sich um ein und die selbe Familie handelt und haargenau die selben Formeln für die Berechnung verwendet wurden. Diese Unterschiede entstehen durch die unterschiedlichen Messungen des Alters.

Deshalb ist ein solcher Vergleich unsinnig und überhaupt nicht aussagekräftig. Um einen aussagekräftigen und vernünftigen Vergleich machen zu können, ist es eine Voraussetzung, dass die Messungen, welche für den Vergleich verwendet werden, die gleichen Maßstäbe haben.
Das gilt nicht nur für das Alter, sondern auch für den Vergleich von Standardabweichungen für Datenreihen, wenn diese in verschiedenen und abweichenden Währungen berechnet werden.

Im Gegensatz zu der Messung, welche bei unterschiedlichen Werten unterschiedlich ausfällt, ist der Variationskoeffizient unabhängig von der Messung und somit identisch, unabhängig davon, ob die Jahre in ganzen oder in halben Jahren berechnet werden.