Sehnenviereck berechnen – Formel, Beispiel & Video

In diesem Artikel erklären wir euch, was man unter Sehnenvierecken versteht. Wir gehen dabei auf deren Merkmale ein und zeigen euch die dazugehörenden Formeln, die zur Berechnung verwendet werden. Dieses Thema ist Teil des Bereiches Mathematik der Mittelstufe.

Bevor wir uns genauer mit Sehnenvierecken beschäftigen, solltet ihr sicherstellen, dass ihr euch mit den Grundlagen von Vierecken im Allgemeinen auskennt. Wenn nicht, solltet ihr zuerst unsere Artikel zu diesem Thema lesen.

Eigenschaften von Sehnenvierecken

Ein Sehnenviereck wird dadurch definiert, dass alle vier Eckpunkte auf einem Umkreis liegen und, dass die Summe gegenüberliegender Winkel 180 Grad ergibt. Im Umkehrschluss gilt klarerweise, dass bei einer Summe der Gegenwinkel von 180 Grad, die Eckpunkte auf einem Kreis liegen. Die unten angeführte Grafik verdeutlicht dies, wobei folgendes gilt:

• α + γ = 180 Grad
• β + δ = 180 Grad
• α + γ + β + δ = 360 Grad

Für Sehnenvierecke lassen sich eine Vielzahl an Dingen berechnen. Die dazugehörigen Formeln erklären wir euch im folgenden Teil. Die dabei verwendeten Variablen beziehen sich auf die oben angeführte Grafik. Zu beachten ist, dass alle Angaben in der selben Einheit gerechnet werden.

Formel zur Berechnung des Umfanges

Beispiel: Gegeben ist ein Sehnenviereck mit den Seitenlängen von a = 3 cm, b = 2 cm, c = 6 cm und d = 8 cm. Gesucht ist der Umfang, der sich gemäß der oben angeführten Formel berechnet:

Formel zur Berechnung des Radius des Umfanges

In der Formel steht R_C für den Umkreisradius, A für die Fläche und a, b, c bzw. d für die Längen der vier Seiten.

Formel zur Berechnung der Diagonalen

In der Formel stehen d₁ und d₂ für die Längen der Diagonalen. a, b, c bzw. d stehen wiederum für die Längen der vier Seiten.

Formel zur Berechnung der Fläche

In der Formel steht A für die Fläche, d₁ und d₂ für die Längen der Diagonalen und a, b, c bzw. d abermals für die Längen der vier Seiten. Die Variable x soll die Formel übersichtlicher machen. Bevor die Fläche des Sehnenvierecks berechnet wird, muss zunächst das x ermittelt werden.

Satz des Ptolemäus

Der Satz des Ptolemäus besagt, dass die Summe der Produkte der Gegenseiten gleich dem Produkt der Diagonalen ist: