Riemannsche Vermutung – Bedeutung kurz erklärt

Die einfache Erklärung für Nicht-Mathematiker wird sehr allgemein gehalten sein und daher viel von dem verpassen, was die Riemann-Hypothese so interessant macht. Im Grunde genommen gibt es eine Gleichung, die sich auf die sogenannte Riemannsche Zeta-Funktion bezieht und von einem Mann namens Bernhard Riemann erforscht wurde. Die Riemann-Hypothese beruht auf einer Beobachtung, die Riemann zu dieser Gleichung gemacht hat: Jeder Eingabewert der Gleichung, der dazu führt, dass sie gegen Null geht, scheint genau auf der gleichen Linie zu liegen.

Das klingt vielleicht nicht sehr interessant, ist es aber für Mathematiker, denn diese Werte tauchen immer wieder an den verrücktesten und kompliziertesten Stellen auf, z. B. in der Quantenmechanik und der Zahlentheorie. Vor allem aber steht die Riemann-Hypothese in engem Zusammenhang mit Primzahlen, etwas, das Mathematiker nicht sehr gut verstehen.

Die unlösbare Vermutung von Riemann

Die Riemann-Hypothese ist so berühmt, weil sie seit 150 Jahren von niemandem mehr gelöst werden konnte. Das ist in der Mathematik eine Seltenheit, denn die meisten Theorien können ziemlich schnell bewiesen oder widerlegt werden. Im Folgenden wird deshalb versucht, eine detailliertere Beschreibung zu erstellen. Zunächst einmal sollte klargestellt sein, was eine komplexe Zahl ist, da die Riemannsche Zeta-Funktion mit ihnen arbeitet. Vor vielen Jahren langweilten sich die Mathematiker mit den reellen Zahlen, also beschlossen sie, imaginäre Zahlen zu erfinden, um die Dinge komplizierter zu machen.

Eine komplexe Zahl sieht vielleicht aus wie zwei Zahlen, ist aber tatsächlich eine einzige. Eine komplexe Zahl wird in der Form x + iy geschrieben. Zum Beispiel könnte man annehmen, n sei eine komplexe Zahl mit dem Wert 3 + i5. Der erste Teil wird Realteil genannt Re und der Teil mit dem i ist der Imaginärteil Im. Alle normalen Zahlen wie 50 oder 1,4 oder 1 sind in Wirklichkeit komplexe Zahlen in Verkleidung, wir schreiben den Imaginärteil einfach nicht mit, weil er Null ist. Wenn wir das täten, sähen sie aus wie 50+ i0 oder 1,4 + i0 oder 1 +i0.

Stark vereinfachte Erklärung

Die Riemann-Hypothese besagt, dass alle nicht trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion einen Realteil von 0,5 haben. Aber was bedeutet das? Eine Nullstelle einer Funktion ist ein Wert, den man in die Funktion einsetzen kann und der Null ergibt. Wenn man zum Beispiel eine Funktion f = x – 1 hat, dann ist x = 1 eine Nullstelle dieser Funktion, denn wenn man sie als x einsetzt, erhält man 1 – 1 = 0.

Die Aussage, dass der Realteil jeder nicht-trivialen Nullstelle 0,5 ist, bedeutet, dass der Realteil einer komplexen Zahl, die man in die Funktion einträgt, immer 0,5 ist, wenn die Zahl, die man aus der Funktion erhält, Null ist. Hier ist die Zeta-Funktion, die für Re > 1 definiert ist. Aber Moment mal, wenn die Funktion nur für Re > 1 definiert ist, wie kann sie dann einen Realteil von 0,5 haben? Nun, das kann sie nicht! Aber dank eines komplizierten Zaubers, der sich „analytische Fortsetzung“ nennt, kann diese Funktion in eine andere Funktion umwandeln, die alle dieselben Werte hat wie die ursprüngliche Funktion, aber mehr Werte hat, als die andere Funktion hatte.