In diesem Artikel erklären wir euch, wie quadratische Funktionen mittels zwei oder drei Punkten bestimmt werden können. Dabei erläutern wir euch die Grundlagen und zeigen euch Beispiele.
Um eine gesuchte Funktion zu finden, sind in der Mathematik oft verschiedene Punkte gegeben. Die Funktion läuft durch diese Punkte und lässt sich mit Hilfe dieser errechnen. Um dieses Thema zu verstehen, ist es notwendig, dass ihr die Grundlagen von quadratischen Funktionen und vom Lösen linearer Gleichungssysteme kennt.
Erklärungsvideo:
Dieses Thema wird auch in einem Video erklärt. Darin findet ihr Beispiele, Lösungswege und Tipps. Das Video kann im Vollbildmodus gesehen werden und ist auch direkt in Quadratische Funktion Punkte Video erreichbar. Zur Not unterstützt dich der Artikel Video Probleme bei Abspielschwierigkeiten.
Bestimmung quadratischer Funktionen/Parabeln mit drei Punkten
Um eine gesuchte quadratische Funktion zu bestimmen, ist die Angabe von drei Punkten, durch diese die Funktion läuft, notwendig. Dabei werden die Punkte jeweils in die Funktion f(x) = ax2 + bx + c eingesetzt. Schließlich wird das lineare Gleichungssystem anhand üblicher Regeln gelöst. Die folgenden Beispiele sollen dem besseren Verständnis dienen:
1. Beispiel:
Gesucht ist eine Funktion, die durch die Punkte P1(0|0), P2(2|4) und P3(3|9) verläuft.
Lösungsweg: Die gegebenen Punkte bestehen jeweils aus einem X- und einem Y- Wert. Diese Werte setzen wir jeweils in die Grundform quadratischer Gleichungen (f(x) = ax2 + bx + c) ein. Die entstandenen drei Gleichungen haben in Summe drei Unbekannte (a, b und c) und können analog zu linearen Gleichungssystemen gelöst werden. Schließlich erhalten wir die Werte für die drei Variablen, setzen diese in die Grundform ein und erhalten die für dieses Beispiel spezifische Lösung von y = x2.
Zunächst erstellen wir also das Gleichungssystem:
- P1(0|0): 0 = a · 02 + b · 0 + c
- P2(2|4): 4 = a · 22 + b · 2 + c
- P3(3|9): 9 = a · 32 + b · 3 + c
Wenn wir uns die erste Gleichung ansehen, sehen wir sofort, dass c = 0 sein muss. Es verbleiben noch zwei Gleichungen:
- 4 = 4a + 2b
- 9 = 9a + 3b
Im nächsten Schritt wird die erste Gleichung durch 2 und die zweite Gleichung durch 3 dividiert:
- 2 = 2a + b
- 3 = 3a + b
Jetzt können wir die beiden Gleichungen von einander abziehen und erhalten a = 1 (-1 = -a). Dies setzen wir in eine der beiden Gleichungen ein, formen diese um und erhalten b = 0. Wenn wir nun die berechneten Variablen a, b und c in f(x) = ax2 + bx + c einsetzen, erhalten wir f(x) = x2.
2. Beispiel:
Gesucht ist eine Funktion, die durch die Punkte P1(1|0,5), P2(-1|-0,5) und P3(2|0,4) verläuft.
Lösungsweg: Wiederum setzen wir die drei Punkte in die Grundform f(x) = ax2 + bx + c ein und erhalten drei Gleichungen mit drei Variablen. Wir lösen das Gleichungssystem auf und erhalten y = -0,2x2 + 0,5x + 0,2.
- P1(1|0,5): 0,5 = a + b + c
- P2(-1|-0,5): -0,5 = a – b + c
- P3(2|0,4): 0,4 = 4a + 2b + c
Durch die Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten erhalten wir b = 0,5:
- 0,5 = a + b + c
- -0,5 = a – b + c
- 1 = 0 + 2b
- b = 0,5
Wir erhalten a = -0,2, indem wir von der zweiten Gleichung die dritte abziehen:
- -0,5 = a – b + c
- 0,4 = 4a + 2b + c
- -0,9 = -3a – 3b
- -0,9 = -3a – 3 · 0,5
- a = -0,2
Zu guter Letzt setzen wir die errechneten Variablen in die erste Gleichung ein und erhalten c = 0,2:
- 0,5 = a + b + c
- 0,5 = -0,2 + 0,5 + c
- c = 0,2
Wir setzen schließlich a, b und c in die Grundform ein:
- f(x) = -0,2x2 + 0,5x + 0,2
Bestimmung quadratischer Funktionen/Parabeln mit zwei Punkten
Bisher haben wir gesehen, dass sich quadratische Funktionen mit Hilfe der Angabe dreier Punkte bestimmen lassen. Unter bestimmten Voraussetzungen ist dies allerdings sogar mit lediglich zwei Punkten möglich. Nämlich dann, wenn in der Angabe noch weitere Zusatzinformationen zu Verfügung gestellt werden.
3. Beispiel:
Gesucht ist eine Funktion, die durch den Punkt P1(0|0) und durch den Exrempunkt P2(0,5|1,5) verläuft.
Lösungsweg: Zunächst gehen wir analog zu den anderen Beispielen vor und erstellen zwei Gleichungen mit den beiden Punkten. Dadurch erhalten wir c = 0:
- 0 = a · 0 + b · 0 + c
- c = 0
- 1,5 = a · 0,52 + b · 0,5 + 0
- 1,5 = 0,25a + 0,5b
Wir haben jetzt zwei Gleichungen mit drei Variablen. Wir wissen allerdings, dass P2 ein Extrempunkt ist. Wir leiten daher f(x) = ax2 + bx + c nach x ab, setzen die Ableitung Null und schließlich x = 0,5 ein:
- f(x) = ax2 + bx + c
- f'(x) = 2ax + b
- 0 = 2ax + b
- 0 = 2 · a · 0,5 +b
- 0 = a + b
- a = -b
Jetzt haben wir die gleiche Anzahl an Gleichungen und Unbekannten. Wir setzen -b für a ein und erhalten b = 6:
- 1,5 = 0,25a + 0,5b
- a = -b
- 1,5 = 0,25 · (-b) + 0,5b
- 1,5 = -0,25b + 0,5b
- 1,5 = 0,25b
- b = 6
Anschließend setzen wir b = 6 in die obige Gleichung ein:
- a = -b
- a = -6
Wir setzen schließlich a, b und c in die Grundform ein:
- f(x) = -6x2 + 6x
Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)
