Punkt-Richtungs-Form & Drei-Punkte-Form leicht erklärt – Parameterform

In diesem Artikel erlären wir euch, was man unter einer Ebene versteht und wie sie anhand von Punkten und Vektoren beschrieben werden kann. Dabei gehen wir auf zwei unterschiedliche Methoden ein und vermitteln euch deren Grundlagen. Außerdem versuchen wir sie euch anhand von Anwendungsbeispielen näher zu bringen.

Mathematisch lassen sich nicht nur Geraden in Ebenen oder Räumen darstellen, sondern auch ganze Ebenen beschreiben. Dieser Artikel befasst sich mit diesem Thema und greift dabei auf Kenntnisse aus der Geometrie und der Vektorrechnung zurück. Solltet ihr euch damit noch nicht auskennen, raten wie euch, vor dem Weiterlesen die dazugehörigen Artikel durcharbeiten. Darin werden essentielle Grundlagen vermittelt, die ihr für die mathematische Beschreibung von Ebenen benötigt.

Punkt-Richtungs-Form von Ebenen

Zur Beschreibung von Ebenen kann unter anderem die Punkt-Richtungs-Form herangezogen werden. Sie besteht aus einem Punkt der Ebene und zwei Richtungsvektoren. Anhand der unten stehenden Graphik lässt sich diese Idee verdeutlichen. Im linken unteren Eck befindet sich der Punkt „P“, von welchem zwei Vektoren (a und b) wegzeigen. Anhand dieser drei Informationen kann die gelb eingezeichnete Ebene im Raum beschrieben werden.

Bevor wir zum einfacheren Verständnis auf Beispiele eingehen, wollen wir die Beschreibung zunächst mathematisch darstellen:

Beispiel
Gesucht ist die Parameterform einer Ebene, die durch den Punkt (1;3;4) verläuft sowie die beiden Richtungsvektoren r = (2;5;1) und s = (5;1;0) hat.

Drei-Punkte-Form von Ebenen

Neben der Punkt-Richtungs-Form lässt sich auch die sogenannte „Vektorielle Drei-Punkt-Form“ zur Beschreibung von Ebenen heranziehen. Im Vergleich zur ersten Methode verwendet sie drei Punkte statt einem Punkt und zwei Richtungsvektoren. Allgemein und mathematisch formuliert sieht dies wie folgt aus:

Beispiel
Gesucht ist die Gleichung der Ebene, die die Punkte P₁ = ( 1;5;0), P₂ = ( -2;-1;2 ) und P₃ = ( 1;2;3 ) besitzt.