Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen

Prinzipiell lassen sich quadratische Funktionen mithilfe von zwei verschiedenen Formen darstellen. Durch die Normal- und Scheitelpunktform. Beide Varianten lassen sich in die jeweils andere umformen.

Quadratische Funktionen begleiten uns nicht nur im Mathematikunterricht, auch im alltäglichen Leben treten sie häufig in Erscheinung. Dabei handelt es sich beispielsweise bei den Bögen von Brücken oder Gebäuden oder auch bei der Kurve beim Werfen oder Schießen eines Balles um eine quadratische Funktion.
Immer wenn in einer Funktionsgleichung als höchste Funktionsvariable x im Quadrat (hochgestellte zwei) vorkommt, hat man es mit einer quadratischen Funktion zu tun. Daher nennt man diese auch Funktion zweiten Grades.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist immer eine Parabel. Die einfachste Form einer Parabel ist die Normalparabel mit der Funktionsgleichung f(x) = x2. Aus dieser ergeben sich durch Streckung, Stauchung oder Verschiebung in Richtung der x- oder y-Achse alle weiteren Parabeln.

Allgemeine Funktionsgleichung

Prinzipiell lassen sich quadratische Funktionen mithilfe von zwei verschiedenen Formen darstellen. Durch die Normal- und Scheitelpunktform. Beide Varianten lassen sich in die jeweils andere umformen.

Normalform: f(x) = ax2 + bx + c

Die Voraussetzung ist, dass a ungleich null ist, b und c im Bereich der reellen Zahlen liegen.

Scheitelpunktform: f(x) = a(x – d)2 + e

Der Punkt S(d/e) ist der Scheitelpunkt, also der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel.

Nullstellen

Als Nullstelle bezeichnet man die x-Werte, bei denen die Parabel die x-Achse schneidet, der y-Wert demnach null beträgt. Dabei kann eine quadratische Funktion zwei, eine oder keine Nullstellen besitzen.
Aufgrund der Tatsache, dass eine Nullstelle die Stelle x ist, an der die Funktion den y-Wert 0 besitzt, gilt f(x) = 0. Die Funktion muss dementsprechend gleich null gesetzt und anschließend mithilfe der pq-Formel gelöst werden.

Anleitung – Beispiel 1

Gegeben sei die Funktion f(x) = x2 + 3x + 2.

Zuallererst setzt man den Funktionsterm gleich null.

0 = x2 + 3x + 2

Im zweiten Schritt muss man zur Ermittlung der Nullstellen, die sogenannte pq-Formel anwenden.

pq-Formel: x1,2 = – p/2 ± Wurzel aus((p/2)2 – q)

Anstelle des p’s wird die Zahl eingesetzt, die vor dem x steht. In diesem Fall also die 3. Für q setzt man die Zahl ein, die alleine ohne x steht, hier die 2. Im Anschluss wird das Eingesetzte lediglich ausgerechnet.

X1,2 = – 3/2 ± Wurzel aus((3/2)2 – 2)
x1,2 = – 1,5 ± Wurzel aus(2,25-2)
X1,2 = – 1,5 ± Wurzel aus(0,25)
X1,2 = – 1,5 ± 0,5

x1 = – 1,5 – 0,5
x1 = – 2

x2 = – 1,5 + 0,5
x2 = – 1

Setzt man zur Überprüfung die – 2 und – 1 für das x in die Gleichung ein, ergibt sich:

0 = (-2)2 + 3(-2) + 2
0 = 0

0 = (-1)2 + 3(-1) + 2
0 = 0

Es handelt sich hier um wahre Aussagen. Damit ergeben sich die Nullstellen N1(-2/0) und N2(-1/0).

Beispiel 2

Das Wichtigste, was es bei der Anwendung der pq-Formel zu beachten gilt, ist, dass vor dem x2 keine Zahl stehen darf. Lautet die Funktion also beispielsweise f(x) = 4x2 + 8x – 16, müssen alle Bestandteile der Funktion zuerst durch vier geteilt werden.

0 = 4x2 + 8x – 16 | : 4
0 = x2 + 2x – 4

p = 2; q = – 4

x1,2 = – p/2 ± Wurzel aus((p/2)2 – q)

x1,2 = – 2/2 ± Wurzel aus((2/2)2 – (-4))
x1,2 = – 1 ± Wurzel aus(5)
x1,2 = – 1 ± 2,24

x1 = – 1 – 2,24
x1 = – 3,24

x2 = – 1 + 2,24
x2 = 1,24

Beachten Sie bei der Überprüfung, dass nicht der genaue Wert Null rauskommt, da aufgerundet worden ist.
Die Nullstellen liegen bei N1(- 3,24/0) und N2(1,24/0).

Beispiel 3 – Anwendung

Der Funktionsgraph f(x) = – 0,025x2 + 4x beschreibt die Flugbahn eines Fußballs. Wie weit fliegt der Ball?

Die x-Achse gibt die Entfernung des Balls vom Abschusspunkt in Meter an und die y-Achse die erreichte Höhe des Balls, ebenfalls in Meter.
Aufgrund der Tatsache, dass es kein c in der Funktionsgleichung gibt, lässt sich erkennen, dass die linke Nullstelle im Koordinatenursprung N1(0/0) liegt. Die Entfernung des Balls wird mithilfe der rechten Nullstelle dargestellt.

0 = – 0,025x2 + 4x | : (- 0,025)
0 = x2 – 160x

x1,2 = – p/2 ± Wurzel aus((p/2)2 – q)
x1,2 = – (- 160)/2 ± Wurzel aus((- 160/2)2 – 0)
x1,2 = 80 ± Wurzel aus(6400)
x1,2 = 80 ± 80

x1 = 80 – 80
x1 = 0

x2 = 80 + 80
x2 = 160

Als Nullstellen ergeben sich N1(0/0) und N2(160/0).

N1(x1/y1); N2(x2/y2)

Abstandsformel:
d = Wurzel aus((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2)
d = Wurzel aus((160 – 0)2 + (0 – 0)2)
d = 160

Der Fußball fliegt 160 Meter weit.

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