Nullstellen einer linearen Funktion berechnen

Funktionen sämtlicher Art sind ein essenzieller Bestandteil in der Mathematik. Sie begleiten uns schon ab der Oberstufe im Matheunterricht. Grundsätzlich stellt eine Funktion einen Zusammenhang zweier Variablen dar. Vorwiegend werden hierfür die Variablen x und y verwendet. Bei einer linearen Funktion, auch Funktion ersten Grades genannt, handelt es sich um ein lineares Verhältnis zwischen zwei Variablen. Dieses kann dabei entweder durch eine Gleichung ausgedrückt oder in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden. Graphisch wird der Zusammenhang bei einer linearen Funktion in Form einer Geraden dargestellt. Der Funktionsgraph kann steigend, fallend, senkrecht oder waagerecht verlaufen.

Funktionen sämtlicher Art sind ein essenzieller Bestandteil in der Mathematik. Sie begleiten uns schon ab der Oberstufe im Matheunterricht. Grundsätzlich stellt eine Funktion einen Zusammenhang zweier Variablen dar. Vorwiegend werden hierfür die Variablen x und y verwendet. Bei einer linearen Funktion, auch Funktion ersten Grades genannt, handelt es sich um ein lineares Verhältnis zwischen zwei Variablen. Dieses kann dabei entweder durch eine Gleichung ausgedrückt oder in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden. Graphisch wird der Zusammenhang bei einer linearen Funktion in Form einer Geraden dargestellt. Der Funktionsgraph kann steigend, fallend, senkrecht oder waagerecht verlaufen.

Linearer Zusammenhang, mathematisch ausgedrückt, in Form einer Funktion:

f(x) = m · x + n

f(x) = y: abhängige Variable
x: unabhängige Variable
m: Steigung
n: y-Achsenabschnitt

Ein kartesisches Koordinatensystem besteht aus zwei aufeinander stehenden Achsen. Bei der horizontalen Achse handelt es sich um die x-Achse und bei der vertikalen Achse um die y-Achse.

Nullstellen

Soll nun die Stelle berechnet werden, an der eine lineare Funktion die x-Achse schneidet, der y-Wert also null beträgt, spricht man von einer sogenannten Nullstelle. Eine Funktion ersten Grades besitzt meist genau eine Nullstelle. Ausnahmen bilden lineare Gleichungen mit m=0 oder n=0. Diese haben entweder keine Nullstelle, da die Funktion waagerecht verläuft und die x-Achse somit nicht schneidet oder unendlich viele Nullstellen, da der Funktionsgraph direkt auf der x-Achse selbst liegt.

Da eine Nullstelle die Stelle x ist, an der die Funktion den y-Wert 0 besitzt, gilt f(x) = 0. Die Funktion muss dementsprechend gleich null gesetzt und anschließend nach x aufgelöst werden.

Beispiel 1

Gegeben sei die Funktion f(x) = – 4x + 8.

Zuallererst setzt man den Funktionsterm gleich null.

0 = – 4x + 8 | – 8

Auf der rechten Seite steht eine Addition. Die Umkehrung einer Addition ist die Subtraktion. Um also die + 8 auf der rechten Seite zu entfernen, muss – 8 auf beiden Seiten gerechnet werden.

– 8 = – 4x | : (- 4)

Um den x-Wert zu ermitteln, muss das x alleine stehen. Da es sich vor dem x um eine Multiplikation handelt, muss beidseitig mit – 4 dividiert werden.

Damit erhält man die Lösung: x = 2.

Setzt man zur Überprüfung die 2 für das x in die Gleichung ein, ergibt sich:

0 = – (4·2) + 8
0 = 0

Es handelt sich hier folglich um eine wahre Aussage. Somit besitzt die Funktion bei N(2/0) eine Nullstelle.

Beispiel 2

Aufgabe: Berechnen Sie die Nullstelle der linearen Funktion f(x) = 4x – 3.

f(x) = 0

0 = 4x – 3 | + 3
3 = 4x | : 4
x = 3/4

Die Nullstelle liegt bei N(3/4/0).

Beispiel 3

Das Abbrennen einer Kerze beispielsweise kann mittels einer linearen Funktion dargestellt werden. Zu Beginn beträgt die Länge der Kerze 20 cm. Pro Stunde brennen 4 cm ab. Wann ist die Kerze komplett abgebrannt?

x: Zeit in Stunden
y: Kerzenlänge

Funktionsgleichung: f(x) = – 4x + 20

Eine abgebrannte Kerze impliziert, dass die Länge und demnach der y-Wert null ist. Der dazugehörige x-Wert gibt den Zeitpunkt an, an dem das Abbrennen der Kerze erreicht ist.

f(x) = 0

0 = – 4x + 20 | – 20
– 20 = – 4x | : (- 4)
x = 5

Die Nullstelle liegt bei N(5/0). Nach fünf Stunden ist die Kerze komplett abgebrannt.

Ein weiteres Anwendungsbeispiel ist ein Fallschirmsprung. Hier markiert die Nullstelle den Punkt, an dem der Fallschirmspringer den Boden erreicht.

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