Markov-Ungleichung in Statistik leicht erklärt + Beispiel

Die Markov-Ungleichung

Mit einer Markov-Ungleichung kann abgeschätzt werden, ob es wahrscheinlich oder unwahrscheinlich ist, dass eine bestimmte Zufallsvariable sehr stark nach oben von ihrem Erwartungswert abweicht, beispielsweise ein Sport-Team schießt 6 Tore anstatt der normalen 2 geschoßenen Tore oder aber es kommen insgesamt 1.000 Kunden an einem Tag ins Geschäft anstatt wie sonst 250 Kunden.

Die Formel ist: P (X >= t) <= E(X)/t

Eine Wahrscheinlichkeit P, dass eine Zufallsvariable > t ist, ist deshalb kleiner als der Erwartungswert E(X) geteilt durch t.

Eine Markov-Ungleichung dient nur einer Abschätzung und somit keine exakte Wahrscheinlichkeitsberechnung auf. Diese basiert lediglich nur auf einer Kenntnis eines Erwartungswertes, kennt man aber zudem noch eine Varianz, kann eine Tschebyscheff-Ungleichung angewandt werden.

Die alternativen Begriffe sind: Markow-Ungleichung und Markov’sche Ungleichung.

Ein Beispiel für ein berechnen einer Markov-Ungleichung

Ein Erwartungswert für die Anzahl von Toren einer Fußball-Mannschaft bei den Heimspielen sei 2.

Die Abweichungen des Erwartungswerter nach oben hin

Wie hoch ist ein Wahrscheinlichkeit, dass diese Mannschaft 6 Tore oder auch mehr in einem Heimspiel schießt?

Formel: P (X >= 6) <= 2/6 = 1/3.

Eine Wahrscheinlichkeit ist dabei höchstens nur 1/3 = ca. 33 %.

Die Abweichungen von einem Erwartungswert nach unten hin

Die Abweichungen von einem Erwartungswert nach unten hin können nur über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet werden.
Aber wie hoch ist nun eine Wahrscheinlichkeit, dass diese Mannschaft weniger als 6 Tore in einem Spiel schießt?

Eine Wahrscheinlichkeit, dass dabei 6 oder auch mehr Tore geschossen werden, wäre höchstens 1/3. Eine Gegenwahrscheinlichkeit wäre aber = 1 – 1/3 = 2/3 = also 67 %.

Mit der Wahrscheinlichkeit von nun mindestens 67 % werden weniger als die 6 Tore geschossen.