Kurvenschar berechnen – Formel, Beispiele, Tipps & Video

Im Folgenden beschäftigen wir uns ausführlicher mit Kurvenscharen. Das bedeutet, wir werden darauf eingehen, was überhaupt eine Kurvenschar ist und wie man mit einer solchen umgeht. Im Rahmen eines abschließenden Beispiels werden wir dann auch zeigen, wie man eine Kurvendiskussion mit einer Kurvenschar durchführt und die Funktion insbesondere ableitet.

Kurzes Video zum Einstieg

Um euch mit Funktionenscharen vertraut zu machen, lohnt es sich das folgende Video anzuschauen, in dem auch verschiedene Beispiele vorgestellt werden.

Was ist überhaupt eine Funktionenschar?

Üblicherweise enthalten Funktionen, wie man sie in der Schule behandelt, nur eine Variable, die oft mit x bezeichnet wird. Von einer Kurvenschar spricht man, wenn die Funktion neben dieser Gleichungsvariable noch eine weitere, auch Formvariable genannt, enthält.
Wie der Name schon andeutet, kann diese zweite Variable Auswirkungen auf die Form des Graphen der Funktion haben. Zum Beispiel kann sie bewirken, dass der Graph gestreckt oder gestaucht wird.

Betrachtet man beispielsweise die Funktion y = f(x) = x²+k für verschiedene k, so legen diese k fest, in welchem Punkt der Graph die y-Achse schneidet. Das k verschiebt hier den Graphen nach oben oder unten. Im unteren Bild könnt ihr euch das einmal genauer anschauen für k=0 und k=1.

Doch, wie bereits erwähnt, kann das k den Graphen auch anders beeinflussen. Meistens sind die Funktionen nicht ganz so schön und einfach, wie das obere Beispiel.

Das sollte einen aber nicht abschrecken: Wie man mit einer Funktionenschar umgehen muss, ist im Grunde immer gleich, egal was die Formvariable bewirkt. So wird bei Aufgaben mit Kurvenscharen oft gefordert, dass man die betreffende Funktion analysiert, also eine Kurvendiskussion durchführt.

Im Rahmen einer solchen Kurvendiskussion muss man zum Beispiel die Funktion ableiten Wende- oder Extrempunkte bestimmen, aber auch den Definitionsbereich bestimmen.

Wie das konkret aussieht, wird im folgenden Beispiel verdeutlicht. Nach der Kurvendiskussion werden wir auch noch einmal darauf eingehen, wie man eine Tangente an einen Graphen legt. Da auch dies eine gern gestellte Aufgabe ist.

Kurvendiskussion einer Funktionenschar und Tangente berechnen

Die Funktion, die wir nun betrachtet werden, sei gegeben durch f(x)=(k*x):(x²+1).

Definitionslücken, Pole und Nullstellen

Um mögliche Definitionslücken oder Pole zu finden, setzt man zuerst den Nenner gleich 0, da man bekanntlichnicht durch 0 teilen darf. In unserem Fall liefert dies keine reelle Lösung, was bedeutet, dass unsere Funktion weder Definitionslücken noch Pole besitzt.
Damit man die Nullstellen findet, macht man das Gleiche noch einmal mit dem Zähler. Dies liefert x1=0 als Nullstelle des Zählers und somit als Nullstelle der ganzen Funktion.

Es sei nun k=1.

Achsen- und Punktsymmetrie

Um eine Funktion auf Achsen- oder Punktsymmetrie zu untersuchen, berechnet man zuerst f(-x) und -f(-x). In beiden Fällen setzt man für x einfach -x ein und im zweiten Fall multipliziert man anschließend noch die Funktion mit -1.
Wenn Achsensymmetrie vorliegt, so gilt f(x)=f(-x). Hier ist die Funktion also nicht achsensymmetrisch.
Gilt wiederum f(x)=-f(-x), wie es bei unserer Funktion der Fall ist, so liegt Punktsymmetrie um den Ursprung vor.

Extremwerte

Nun widmen wir uns den Extrempunkten der vorliegenden Funktion. Extremwerte umfassen sowohl Hoch- als auch Tiefpunkte.

Um herauszufinden, ob und welche Extremwerte vorliegen, gehen wir in mehreren Schritten vor. Zuerst leiten wir die Funktion zweimal mittels der Quotientenregel ab. Die erste Ableitung setzen wir dann gleich 0 und erfahren dann durch die Nullstellen, welchen x-Wert unsere Extremwerte haben. Noch wissen wir aber nicht, ob es sich bei den gefunden Punkten um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

Dies verrät uns erst die zweite Ableitung, wenn wir unsere Nullstellen der ersten Ableitung in sie einsetzen. Ist der Wert, der dabei rauskommt, kleiner 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt und ist er größer 0, so liegt ein Tiefpunkt vor.

Schließlich setzen wir die x-Werte noch einmal in die ursprüngliche Funktion und erhalten so die y-Werte der Hoch- und Tiefpunkte.
Konkret haben wir bei x1=1 einen Hochpunkt und bei x2=-1 einen Tiefpunkt.

Die Ränder des Definitionsbereiches

Die Funktion weist weder Pole noch Lücken auf, deshalb sind die zu betrachtenden Ränder des Definitionsbereiches plus und minus Unendlich.

Geht x gegen plus Unendlich, so sind sowohl Zähler als auch Nenner stets positiv, doch der Nenner wächst wegen x² wesentlich schneller. Dies bedeutet zusammen genommen, dass sich die Funktion für x gegen plus Unendlich der Null von oben nähert.

Betrachtet man wiederum x gegen minus Unendlich, so ist der Zähler negativ, während der Nenner positiv bleibt, da wir x quadrieren. Hier verhält es sich somit genau andersrum und die Funktion nähert sich von unten der Null.

Tangente berechnen

An der Stelle x=2 soll eine Tangente an die Funktion angelegt werden. Dies bedeutet, dass man eine Gerade an den Graphen legt, die ihn nicht schneidet, sondern nur an der gewünschten Stelle berührt.

Eine Gerade hat stets die Form g(x)=y=m*x +b. Dabei bezeichnet m die Steigung der Geraden und b den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.

Den x-Wert des Punktes, in dem sich die Gerade und der Graph berühren sollen, kennen wir bereits. Zu ermitteln bleiben somit nur noch Steigung m und y-Achsenabschnitt b.
Um m zu errechnen, betrachten wir nochmal die erste Ableitung unserer Funktion und setzen x=2 ein. Der Wert, den man so erhält, liefert uns die Steigung des Graphen im Punkt x=2 und somit die Steigung unserer Tangente.

Setzt man x=2 nun in die Ursprungsfunktion ein, so liefert dies den entsprechenden y-Wert unseres Punktes.

Die drei bekannten Werte setzen wir schließlich in die Geradengleichung ein, lösen diese nach b auf und erhalten so den y-Achsenabschnitt b.