Kreisabschnitt / Kreissegment berechnen – Formel, Beispiel & Video

In diesem Artikel erklären wir euch, was man unter einem Kreissegment versteht. Wir zeigen euch die anzuwendenden Formeln und geben Beispiele. Dieses Thema ist Teil des Bereiches Mathematik Mittelstufe.

Im Folgenden befassen wir uns mit dem Kreissegment bzw. dem Kreisabschnitt. Davor ist es allerdings wichtig, dass ihr die Grundlagen zu Winkeln beherrscht und wisst, wie sich die Fläche eines Kreises berechnen lässt.

Berechnung eines Kreisabschnittes

Im mathematischen Teilbereich der Geometrie versteht man unter einem Kreisabschnitt (=Kreissegment) eine Teilfläche einer Kreisfläche. Wie in der folgenden Grafik ersichtlich, wird dieser von einem Kreisbogen und einer Kreissehne begrenzt. Die weiter unten angeführten Formeln inklusive Beispiel nehmen ebenso Bezug auf diese Grafik:

Erklärung der Variablen:

• α: Winkel am Mittelpunkt
• b: Länge des Kreisbogens zwischen A und B
• h: Höhe des Kreissegments
• r: Radius des Kreises
• s: Länge der Kreissehne zwischen A und B

Zum besseren Verständnis wurden in die Grafik noch weitere Variablen eingefügt: M bezeichnet dabei den Mittelpunkt des Kreises und A bzw. B stehen für die Endpunkte des Kreisbogens. Das A in den unten stehenden Formeln steht allerdings nicht für einen Punkt, sondern ist das mathematische Formelzeichen für den Flächeninhalt, der in der Grafik grün eingezeichnet ist.

Formeln und Beispiel zur Berechnung von Kreissegmenten

Die folgenden Formeln dienen der Berechnung von Kreissegmenten. Wir konzentrieren uns dabei auf den Flächeninhalt, den Kreisradius, die Kreissegmenthöhe und den Winkel.

Beispiel:

Gefragt ist der Flächeninhalt eines Kreisabschnittes mit h = 2 cm, s = 6 cm und b = 9 cm. Die Lösung sieht wie folgt aus:

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Kreissegment berechnen

Einführung

Wenn man Geometrie studiert und sich mit der Figur des Kreises beschäftigt, ist eines der schwierigsten und komplexesten Themen die Berechnung des Querschnitts/Segments des Kreises.

Im heutigen Artikel werden wir uns mit diesem Thema befassen und erstens versuchen zu verstehen, was wir meinen, wenn wir von einem „Kreissegment“ sprechen, und zweitens werden wir verstehen, wie man es Schritt für Schritt berechnen kann.

Zum Schluss werden wir zum besseren Verständnis der theoretischen Argumentation einige Beispiele für die Anwendung der Formeln geben.

Los geht’s!

Voraussetzungen

Bevor wir uns mit der Berechnung des Kreissegments befassen, müssen Sie die Grundlagen der Winkel kennen und wissen, wie man den Flächeninhalt eines Kreises berechnet.

Sobald Sie diese Kenntnisse haben, können wir mit unserem Thema fortfahren.

Was ist ein Kreissegment?

In der Geometrie spricht man von einem Kreissegment, wenn man von einer Teilfläche eines Kreises spricht.

Der Kreisausschnitt wird durch einen Bogen und eine Sehne begrenzt, wie in der folgenden Abbildung zu sehen ist:

Die Variablen

Nachdem wir nun gesehen haben, was ein Kreissegment ist, sehen wir uns an, was seine Variablen sind, um dann die Formeln zu sehen, die zur Berechnung seiner Länge benötigt werden.

? : stellt die Amplitude des Winkels in der Mitte dar
A und B: stehen für die Endpunkte des Kreisbogens
b: ist die Länge des Bogens zwischen den Punkten A und B
h: bezeichnet die Höhe des Kreissegments.
r: ist der Radius des Kreises
s: bezeichnet die Länge der Sehne zwischen den Punkten A und B.
M: steht für den Mittelpunkt des Kreises

Formeln zur Berechnung des Kreissegments

Nun, da wir alle notwendigen Daten und Informationen haben, können wir sehen, welche Formeln wir verwenden können, um die verschiedenen Geometrieprobleme zu diesem Thema zu lösen.

A= ½ * br – ½ *s*(r-h)
A r^2 /2 * (?-sin ?)
r= 4*h^2+s^2/8h
h=s/2*tan(0,25?)
?=4*arctan(2h/s)

Praktische Beispiele

Nachdem wir nun alle möglichen Formeln gesehen haben, die wir verwenden können, wollen wir uns ein Beispiel ansehen, um das Thema aus praktischer Sicht besser zu verstehen.

Beispiel

Wir müssen die Fläche eines Kreisausschnittes berechnen mit:
h= 3 cm
s=9 cm
b= 13,5

Um dieses Problem zu lösen, muss man zunächst die Länge des Radius (r) berechnen. Dazu müssen wir die Formel anwenden, die wir zuvor gesehen haben:

r= 4*h^2+s^2/8h

Setzt man alle Daten in die Formel ein, erhält man folgendes Ergebnis:
r= 4*3^2 + 92 / 8*3

Löst man die gesamte Gleichung, so erhält man folgendes Ergebnis: 4,87 cm. Da wir nun wissen, wie lang der Radius ist, können wir nun die Fläche des Kreisausschnitts berechnen.

Um die Fläche zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

A = ½ * br – ½ *s*(r-h)

Durch Lösen dieser Gleichung erhalten wir ebenfalls das Ergebnis: 24,45 cm^2

Fazit

In diesem Artikel haben wir gesehen, was ein Kreissegment ist und welche mathematischen Formeln mit diesem Thema verbunden sind. Das Schwierigste an diesem Thema ist, sich alle Formeln zu merken, denn es ist sehr schwierig, sich diese zu merken. Der Schlüssel zum Lösen von Problemen, wie wir sie gesehen haben, liegt jedoch darin, alle Formeln im Kopf zu haben und eine nach der anderen zu verstehen, welche man anwenden muss.