Integralrechnung leicht erklärt – Beispiele, Tipps + Videos

Die Integralrechnung ist eine wichtige Methode in der Mathematik um Flächen zu berechnen. In diesem Artikel möchten wir euch die Integralrechnung mit Hilfen von Beispielen, Tipps und Videos vorstellen.

In diesem Artikel befassen wir uns mit mehreren Themen, die wir wie folgt gegliedert haben:

1. Die Grundlagen und Summenregel der Integralrechnung
2. Integrationsregeln
3. Integralrechnung mit Integrationsgrenzen
4. Formelsammlung für die Integralrechnung
5. Die Integralrechnung bei einer Fläche

Wir beginnen auch gleich mit dem ersten Punkt, nämlich:

1. Die Grundlagen und Summenregel der Integralrechnung

Hier möchten wir darlegen, was die Summenregel bei der Integralrechnung für eine Rolle spielt. Das Ziel hierbei ist, die Fläche einer Funktion zu berechnen. Wir fangen mit der Untersumme an. Am besten wird dies deutlich mit einem Beispiel:

Die Untersumme:

Der Strich im Koordinatensystem ist unsere Funktion. Mit der Untersumme hat man die Möglichkeit die Fläche, unter dieser Funktion relativ genau zu berechnen. Mit Hilfe von Rechtecken, die unter die Funktion gezeichnet wurden, kann man die Fläche bestimmen. Jeder kennt die Formel Länge*Breite. Nichts anderes wird hier angewandt. Dadurch treten aber auch Ungenauigkeiten auf, da man durch die Form der Rechtecke, nicht die ganze Fläche unter einer Funktion abdecken kann. Es gilt also, je dichter die Rechtecke, desto genau ist das Ergebnis. Diese Lücken werden auch als Untersumme bezeichnet.

Die Obersumme:

Auch hier werden Rechtecke erstellt, nur gehen diese über die Funktion hinaus. Hier kann man die Fläche wieder mit der Formel für Rechtecke (L*B) berechnen. Allerdings ist die Fläche mit dieser Methode größer als in Wirklichkeit. Die über die Funktion herausragenden Flächen sind die Obersumme, die man dann von der Fläche abziehen muss, um ein exaktes Ergebnis zu erhalten.

Die exakte Fläche bestimmen

Doch wie kann man die exakte Fläche in diesem Modell bestimmen? Beide Methoden führen einen zwar in die Nähe der richtigen Lösung, allerdings findet man eben nicht den exakten Wert der Fläche heraus. Hier kommt das Integral ins Spiel. Wie die Theorie besagt, zeichnet man imaginär unendlich viele Rechtecke ein, um somit die kleinstmögliche Untersumme zu erreichen. Denn, je mehr (kleinere) Rechtecke, desto niedriger wird logischerweise die Untersumme. Bei unendlich vielen Rechtecken, fällt diese weg. Das ist die Bedeutung des Integrals.
Natürlich kann man nicht unendlich viele Rechtecke haargenau auf ein Blatt Papier zeichnen. Die Mathematik hat auch hierfür eine Lösung gefunden. Diese besagt, dass man dank eigener Regeln, die Funktionen integriert und dadurch die genaue Fläche erhält. Dies sehen wir uns im nächsten Schritt an.

2.Integrationsregeln

Erstmal benötigen wir ein Funktion. Der klassische Funktionsaufbau, den man kennt.Die Funktion lautet hier: f(x) = y = 2x oder f(x) = y = 2×3 + 3x. Die Ableitung ist hier wie folgt: f'(x) = y‘ = 2 oder f'(x) = y‘ = 6×2 + 3.
Beim integrieren gehen wir aber anders vor, nämlich umgekehrt.So erhalten wir die Stammfunktion.
Zusammengefasst also: Wir haben eine Funktion y = f(x)= ____ und suchen die Stammfunktion Y = F(x) = ____.

Anfangs werden wir die Integrationsgrenzen noch nicht berücksichtigen und schrittweise vorgehen. Primär geht es uns nun erstmal um das ermitteln der Stammfunktion. Die weiteren Schritte bearbeiten wir im Verlauf.

Integralrechnung: Konstante integrieren und die Potenzregel

Zu Beginn starten wir mit der Potenzregel. Dafür müssen wir eine Konstante integrieren, also dem Gegenteil vom ableiten. In unserem Beispiel sieht das folgendermaßen aus:

f(x) = 2 und damit F(x) = 2x + C
f(x) = 5 und damit F(x) = 5x + C
f(x) = 8 und damit F(x) = 8x + C

An dieser Stelle merken wir uns, wie man überhaupt integriert. Wir nehmen, hierbei ein x dazu und hängen es an die Konstante. Ein +C wird am Ende der Funktion hinzugefügt. Dies steht für eine beliebige Zahl. Dieses C dient später wieder zum ableiten und ist immens wichtig. Denn nur Elemente, die in einer Funktion stehen können später wieder abgeleitet werden!

Nun zur allgemeinen Potenzregel:

Anhand unserer Beispielfunktion f(x) = 2x oder f(x) = 3×2 möchten wir nun das integrieren mit der Potenzregel üben:

Das ist eigentlich recht einfach. Haben wir eine Hochzahl, addieren wir eine 1 dazu.
Somit sieht man wie im Bild, dass man einen neuen Exponenten und einen neuen Wert unter dem Bruch hat. Das +C dabei nicht vergessen! Hier ein paar weitere Beispiele:

Beachten muss man hierbei noch die Summenregel:
Auch diese wird Sie nicht vor größere Probleme stellen, wenn man sie beachtet. Sie besagt, dass man gliederweise integrieren darf. Auch hier haben wir ein paar Beispiele vorbereitet:

Die partielle Integralrechnung:

Möchte man ein Produkt integrieren, dann wendet man die partielle Integralrechnung – oder auch genannt Produktintegration – an. Ähnlich wie bei der Produktableitung geht es auch bei der Produktintegration zu, nur wieder auf die umgekehrte Art. Zum veranschaulichen erstmal die allgemeine Form:

Um das alles zu veranschaulichen und besser zu vermitteln, bieten wir natürlich wieder eine Hand voll Beispiele an. Hier ist jedoch Vorsicht geboten. Bevor man mit den Rechenschritten beginnt, muss erstmal u und v‘ festgelegt werden. Vertauscht man diese zwei Komponente miteinander, kann es dazu führen, dass die Aufgabe nicht lösbar ist. Mit dieser Warnung kommen wir zu Beispiel 1:

Schritt für Schritt erklärt:

1. Wählt u und v‘ für die zu bearbeitenden Funktion aus
2. Bildet damit u‘ und v
3. Einsetzen in die Formel für partielle Integration
4. Vereinfacht die Rechnung durch Auflösen
5. Löst das neu gebildete Integral
6. Am Ende fasst ihr die Lösung zusammen

3. Integralrechnung mit Integrationsgrenzen

Wenn man eine Funktion gezeichnet hat, ergibt sich meistens ein langer Verlauf. Um die Fläche einzugrenzen, da diese auch unendlich sein kann, benutzt man Integrationsgrenzen. Diese dienen eben lediglich dafür, die Fläche einzugrenzen und man nur eine Fläche eines bestimmten Abschnitts ermitteln muss. Dazu ist folgende Grafik für die Darstellungsart sinnvoll:

Die beiden Grenzpunkte im Koordinatensystem werden üblicherweise mit den Buchstaben a und b beschrieben. a steht für den „unteren“ Grenzpunkt – b für den „oberen“. Gesucht ist in diesem Beispiel nun also, die Fläche die zwischen den Punkten a und b eingegrenzt ist. Um diese Werte zu erzielen, müsst ihr wie folgt vorgehen:

1. Integriert die Funktion mit Hilfe der Integrationsregeln
2. Die Konstante C wird hierbei = 0 gesetzt
3. Die Funktion mit der unteren Grenze, von der Funktion mit der oberen Grenze abziehen.

Hierfür ein Beispiel:

Erklärung: Zuerst wird die Funktion integriert. Man setzt die Stammfunktion in Klammern und schreibt die Integrationsgrenzen von oben nach unten neben die Klammer. Nun kann man die Funktion ausrechnen. Einmal mit dem oberen und einmal mit dem unteren Grenzwert. Danach subtrahieren wir die Funktionen. In diesem Beispiel wird für x zuerst die 1 gewählt, so dass 1/3 als Ergebnis erhalten wird. Da durch das einsetzen der Zahl 0 auch das Ergebnis 0 ist, haben wir ein Endergebnis von 1/3. Wir berechnen also: 1/3 – 0 = 1/3

4. Formelsammlung für die Integralrechnung

In dieser Art Formelsammlung in Form einer Tabelle, findet man Tipps um die Integralrechnung möglichst einfach durchzuführen. Hier hat man die wichtigsten Regeln auf einen Blick. Es lohnt sich diese zu merken oder auszudrucken um schneller an sein Ziel zu gelangen.

5. Die Integralrechnung bei einer Fläche

Zusammengefasst wissen wir nun, dass man mit der Integralrechnung eine Fläche einer Funktion berechnen kann. Durch Teilabgrenzungen, den sogenannten Integrationsgrenzen vereinfachen wir uns das und schränken die Fläche ein. Mit diesem Wissen möchten wir uns nun an ein paar Beispiele zum Veranschaulichen wagen. Im ersten Beispiel versuchen wir die Fläche zwischen zwei Graphen zu berechnen.

Was muss ich bei dieser Grafik verstehen?

• – Es gibt 2 Funktionen. Gekennzeichnet mit f(x) und g(x)
• – Die Graphen schneiden sich an 2 Stellen (x1 und x2)
• – Die grüne Fläche soll errechnet werden und ist die Fläche des Raumes in dem sich beide Graphen schneiden
• – Die Funktion f(x) liegt zwischen den Schnittpunkten, dauerhaft über der Funktion g(x)

Wie gehen wir nun zuerst vor?

Wir können die Fläche über g(x) ausrechnen, so erhalten wir die Fläche unter f(x). Oder wir berechnen einfach die Fläche von f(x) und ziehen danach die Fläche von g(x) ab.

Merke: Es hat keinen Zweck die Formeln stur auswendig zu lernen. Da jede Aufgabe hier individuell und komplex ist, dass man viel Mitdenken muss um auf das endgültige Ergebnis zu kommen. Mit sturem Einsetzen in eine Formel, können hier schnell,falschen Lösungen entstehen.

Beispiel 1: Flächenberechnung

Hier schauen wir uns ein paar Beispiele zum berechnen einer Fläche an. Für die ersten Beispiele liegt eine Beispielrechnung mit Lösung vor. Für die anderen Beispiele sehen wir uns nur als Impuls und Ideengeber. Lösen sollten sie diese Aufgaben selbständig um nachvollziehen zu können, ob sie in der Materie sind.

Die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen soll durch eine Integralrechnung bestimmt werden. Die Gleichungen lauten f(x) = x2 – 8x + 17 und g(x) = -x + 7. Um es sich besser vorstellen zu können:

Um die Integrationsgrenzen zu finden, brauchen wir die Schnittpunkte beider Graphen. Dann wird die Fläche unter dem jeweiligen Funktionsgraph errechnet. Die Differenz ist damit unsere gesuchte Fläche. Die Rechnung baut sich so auf:

Um das schriftlich festzuhalten:

• – Für den Erhalt der Integrationsgrenzen, benötigen wir die Schnittpunkte
• – Mit Hilfe dieser Grenzen wurde die Fläche und g(x) berechnet.
• – Mit Hilfe dieser Grenzen wurde die Fläche und h(x) berechnet.
• – Die Differenz beider Flächen ist die gesuchte grüne Fläche auf dem Bild.

Es folgen jetzt weitere Beispiele, die zur Lösungsfindung anleiten. Allerdings verzichten wir darauf, diese Beispiele näher zu erklären und berufen uns auf die allgemeinen Standards.

Beispiel 2:

Wie gehe ich hier vor?

• – Die Funktionsgraphen haben keine Schnittpunkte, werden aber durch uns mit x1 und x2 begrenzt.
• – Die Fläche unter f(x) wird berechnet. Die Grenzen werden für das Integral benötigt.
• – Die Fläche über Funktionsterm g(x) wird berechnet. Ignorieren sie hierbei die negative Zahl, und denken Sie sich das Minus weg.
• – Die Flächen werden beide zusammen addiert und bilden den gesamten Flächeninhalt

Beispiel 3:

Wie gehe ich hier vor?

• – Die Funktionen f(x) und g(x) schneiden sich 3-mal. Die Schnittpunkte müssen hierbei wie in Beispiel 1 berechnet werden.
• – Hier muss man beide grünen Flächen separat eingrenzen und diese am Ende abziehen.
• – Man achte darauf, dass man die Graphen nicht vertauscht.