Extremwerte: Hochpunkt / Tiefpunkt berechnen – Beispiel + Video

Dieser Artikel befasst sich mit den so genannten Hochpunkten und Tiefpunkten.
Welchem Zweck diese dienen und wie man sie berechnet, wird euch in diesem Beitrag anschaulich erklärt.
Der Text handelt von der allgemeinen Mathematik.

Im Folgenden gehen wir auf bestimmte Begriffe wie etwa den Extremwert, den Hochpunkt sowie den Tiefpunkt ein. Um mit Extremwerten zu arbeiten empfiehlt es sich, sich mit den folgenden Regeln vertraut zu machen. Andernfalls kann direkt mit den Extremwerten gestartet werden.

• Funktionen zeichnen
• Faktorregel und Summenregel
• Produktregel und Quotientenregel
• Kettenregel
• Grundlagen der Steigung
• Erste und Zweite Ableitung
• Tabelle – Ableitungen

Extremwerte – Video
Im folgenden Video wird dir das Thema Extremwerte anschaulich erklärt.

Extremwerte – Definition

In der Schule musste sicherlich schon jeder einmal eine Funktion aufzeichnen. Hierfür wurde meist eine Wertetabelle aufgestellt, mithilfe derer die Funktion graphisch in ein Koordinatensystem eingezeichnet wurde. Der gezeichnete Abschnitt der Funktion zeigt meist nur einen kleinen Teil und somit selten die Extremwerte der Funktion, wie etwa den Tiefpunkt oder den Hochpunkt. Wir erklären euch nachfolgend ausführlich wie sich diese Punkte berechnen lassen und was man mit ihnen alles machen kann. Die Berechnungen finden beispielsweise in folgenden Branchen Verwendung:

• In der Produktion einer Verpackung kann das optimale Verhältnis zu Inhalt und Verbrauch von Verpackungsmaterial berechnet werden, so können Kosten gespart werden.
• Der Zeitpunkt der Maximallast an einem technischen System lässt sich durch die Funktion der Spannung berechnen.
• Durch Extremwerte lässt sich in der Industrie der Umsatzverlauf berechnen, für einen maximalen Profit.

Wie ihr seht sind Extremwerte in der Industrie enorm wichtig um ein optimales Ergebnis zu erzielen, Kosten zu sparen und Vorhersagen treffen zu können.

Extremwerte – Maxima und Minima

Bei den Extremwerten differenziert man zwischen globalen und lokalen Minimas und Maximas. Für ein besseres Verständnis erklären wir euch dies an einem Beispiel.

 

In dieser Graphik wurden bestimmte Punkte, die eine besondere Bedeutung in der Funktion besitzen, mit Zahlen von 1 bis 5 gekennzeichnet. Was diese Punkte aussagen erklären wir nun:

• Der Punkt 1 kennzeichnet ein lokales Maximum. Hierbei handelt es sich um den höchsten Punkt eines Abschnitts der Funktion, nicht jedoch um den höchsten Punkt der gesamten Funktion.
• Der Punkt 2 kennzeichnet ein globales Minimum. Hierbei handelt es sich um den tiefsten Punkt der gesamten Funktion.
• Der Punkt 3 kennzeichnet ein lokales Maximum.
• Der Punkt 4 kennzeichnet ein lokales Minimum.
• Der Punkt 5 kennzeichnet ein globales Maximum.

Im Zusammenhang damit wird oft von einem monotonieverhalten gesprochen. Dies besagt, dass stets ein Extrempunkt vorliegt wenn die Funktion monoton wachsend¹ / fallend² ist und anschließend zu monoton fallend¹ / wachsend² übergeht.
(¹ kennzeichnet einen Hochpunkt / ² kennzeichnet einen Tiefpunkt).
Der Wert der Steigung an lokalen Maxima und Minima ist immer 0.

Extremwerte – Hochpunkte und Tiefpunkte

Wie eben erklärt befindet sich an den Maxima und Minima eine Steigung von Null. Die erste Ableitung ändert an lokalen Extremstellen das Vorzeichen, sowie die Funktion ihr Monotonieverhalten an Stellen der Extremwerte ändert. An einem lokalen Minimum ist die Ableitungsfunktion f‘ monoton wachsend, weshalb f“(x₀) größer als 0 sein muss. Bei lokalen Maxima ist die Ableitungsfunktion f‘ allerdings monoton fallend, weshalb f“(x₀) kleiner als 0 sein muss. Wir erklären dir nun mithilfe von zwei Beispielen wie man Hochpunkte und Tiefpunkte berechnet. Die Funktion liegt uns auf diese Art vor y = f(x).

Folgend nun die Vorgehensweise:

• 1. Die erste Ableitung der Funktion wird berechnet.
• 2. Die zweite Ableitung der Funktion wird berechnet.
• 3. Die erste Ableitung wird 0 gesetzt, bedeutet f'(x) = 0. Wir erhalten dabei diverse x-Werte.
• 4. Die x-Werte werden nun in der zweiten Ableitung eingesetzt und geprüft.
  Es kann nun bestimmt werden ob ein Tiefpunkt oder Hochpunkt vorliegt.

1.Beispiel:

Hinweis: Wird der berechnete x-Wert in die Startgleichung eingesetzt, kann damit der Punkt des Minimums bestimmt werden. In diesem Fall: f(x) = x²; y = x² = 0² = 0. Das Minimum befindet sich bei P = (0 ; 0)