Extremstellen berechnen – Formeln, Beispiele, Tipps & Video

Bei einer Extremstelle handelt es sich um den Hoch,- und den Tiefpunkt einer Funktion. Um diese Punkte auszurechnen, benutzt man eine vorgegebene Formel, wobei man beachten muss, dass es immer einen konsequenten Ablauf gibt.

Folglich berechne ich beispielhaft die Extremstellen einer Funktion, sodass die Rechnung gut nachvollzogen werden kann.

Allgemeiner Ablauf

Bei der Extremstellenberechnung geht man folgendermaßen vor:

1. Als erstes berechnet man die ersten beiden Ableitungen der vorliegenden Funktion
2. Die erste Ableitung wird gleich Null gesetzt, damit man herausfindet, ob, und wie viele Extremstellen bestehen.
3. Die herausgefundenen Extremstellen werden in die zweite Ableitung eingesetzt, sodass Hoch,- und Tiefpunkte gefunden werden.
4. Zuletzt berechnet man die genauen Hoch- und Tiefpunkte

Beispiel: Extremstellenberechnung

Nachfolgend wenden wir den oben beschriebenen Ablauf auf eine Funktion an.

Erläuterung der Rechnung

1. Ableitungen bilden

Gegeben ist die Funktion f(x)= 1/3x³+1/2x²-2x. Um hier die Ableitungen bilden zu können, müssen wir die Potenzregel beachten. Dementsprechend rechnen wir nehmen wir 1/3 mit der Zahl 3(unserem Exponenten) und ziehen von dem Exponenten 1 ab. Genau das Gleiche machen wir bei 1/2x² und 2x.

2. Null setzen

Haben wir unsere Ableitungen gebildet, so setzen wir unsere erste Ableitung f'(x)gleich 0. Daraus ergibt sich x²+x-2 = 0. Nun lösen wir nach x auf. Dabei ist zu beachten, dass es sich hier um eine quadratische Gleichung handelt, bei der man beispielsweise die p/q- Formel anwenden kann. hat man dies getan, so erhalten wir 2 X-Werte. X1 = 1 und X2 = -2. Das bedeutet, dass an den Stellen Hoch- oder Tiefpunkte vorliegen können, aber nicht müssen.

3.
Um zu überprüfen, ob an den ausgerechneten Stellen Extremstellen vorliegen, benötigen wir unsere zweite Ableitung f“(x)= 2X + 1. Für X setzen wir jetzt unsere beiden X – Werte (1 und -2 ein).
Wenn wir für X 1 einsetzen, erhalten wir 3. Die Zahl 3 ist größer als 0, was bedeutet, dass bei X = 1 ein Tiefpunkt vorliegt.
Wenn wir für X -2 einsetzen, so erhalten wir -3. Die Zahl -3 ist kleiner als Null, was bedeutet, dass bei X = -2 ein Hochpunkt vorliegt.

4.
Da wir nun wissen, dass wir einen Hoch- und einen Tiefpunkt haben, können wir die genauen Punkte ausrechnen. Unsere Extremstellen liegen bei X = 1 und bei X = -2. Diese beiden Punkte müssen wir nun in unsere ursprüngliche Funktion f(x) einsetzen.
Dementsprechend rechnen wir f(1) = 1:3 mal 1³ + 1:2 mal 1² – 2 mal 1 und
f(-2) = 1.3 mal(-2)³ + 1:2 mal (-2)² -2 mal (-2).

Haben wir diese Funktionen ausgerechnet, so erhalten wir für f(1) = -7/6 und für f(-2) = 10/3. Unsere Minusstelle liegt folglich bei TP(1;-7/6) und unser Hochpunkt liegt bei HP( -2; 10/3)