Erwartungswert berechnen: Beispiele, Formel & Video

Wir werden in diesem Artikel den Erwartungswert beschreiben und zeigen, wie der allgemeine Erwartungswert mit einfachen Formeln berechnet wird. Damit ihr die Berechnung des allgemeinen Erwartungswertes auch in der Praxis sehen könnt, zeigen wir ein Beispiel für die jeweilige Formel. Dieser Artikel macht Aufgabenprobleme der Statistik klar.

Wenn Zufallszahlen sehr oft vorkommen, dann wird der Erwartungswert mit einem gewichteten Mittelwert berechnet. Das Resultat wird dann als Erwartungswert in anderen Formeln eingesetzt.

Der Erwartungswert

X sei eine endliche Zufallsgröße, welche alle Werte Xi einer Definitionsmenge annehmen kann. Wenn die Wahrscheinlichkeit einen dieser gleichwahrscheinlichen Werte zu erhalten bei P ( X = xi ) liegt, wird der Erwartungswert mit dieser Formel berechnet:

• E(X) = x1 · P(X = X1 ) + x2 · P(X = x2 ) + … + Xn · P(X = Xn )

Beispiel:

Wir untersuchen die Ziehungen an einem Spielautomaten. Der Einsatz pro Spiel kostet 1 Euro. Die Tabelle informiert uns, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für einen ausgezahlten Betrag in Euro ist. Die Frage lautet: Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn für ein Spiel mit dem Einsatz von 1 Euro?

Betrag          p

0               0,3

0,10          0,4

0,25          0,2

1,0            0,1

Lösung: E(X) = 0 · 0,3 + 0,10 · 0,4 + 0,25 · 0,2 + 1,0 · 0,1 = 0,19

Im Durchschnitt erhalten wir mit einem Einsatz von 1 Euro in jedem Spiel etwa 0,19 Euro. Der Automat verdient damit bei jedem Spiel 81 Cent. Wir werden an diesem Automat somit nur Geld verlieren.

Die Beispiele für das Berechnen eines Erwartungswertes

Münzwurf

Beim Münzwurf wirft man eine 1-Euro-Münze. Ist dabei die 1 oben, so erhält man einen Euro, ist aber die Rückseite oben, bekommt man nichts. Eine Wahrscheinlichkeit, dass dann 1 oben liegt liegt bei 50 %, das gleiche gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass die Rückseite am Ende oben liegt.

Es gibt noch den unwahrscheinlichen Fall, dass eine Münze auf einer Seite stehen bleibt, lassen wir aber dies außer Acht.

Ein Erwartungswert vom Spiel ist nun:

μ = 50 % × 1 € + 50 % × 0 € = 0,50 €

Der Erwartungswert ist insofern nur ein theoretischer Wert, da dieser sich aber hier nicht realisieren lässt. Entweder hat man nach dem Spiel 1 € oder eben 0 €, aber eben keine 0,50 €).

Roulette

Beim Roulette gibt es die Zahlen 1 bis 36, auf welche man nun setzen kann sowie die Zahl 0 in einer Summe von 37 Möglichkeiten. Die Hälfte aller Zahlen, von 1 bis 36 ist rot, die andere Hälfte ist schwarz, die Null grün.

Setzt man nun auf eine Farbe 1 € und eine Kugel fällt auf die Zahl mit der Farbe, so erhält man dann das Doppelte wieder zurück. Den Einsatz von 1 € sowie auch den 1 € Gewinn.

Ansonsten kommt die andere Farbe oder eben 0, dann ist der ganze Einsatz weg. Setzt man aber 1 € auf Rot, ist nun der Erwartungswert:

μ = 18/37 × 2 € + 19/37 × 0 € = 0,97 €.

Sitzt man aber am Abend mit 100 € Startkapital in einem Spielkasino und setzt dann 100 mal je 1 € auf die Farbe Rot, so kann man nun davon ausgehen, dass man 97 € nach Hause bringt. Je öfter man nun spielt, umso eher pendelt sich das tatsächliche Ergebnis beim Erwartungswert ein.

Würfel

Würfelt man und erhält dabei die Augensumme in Euro, dann ist der Erwartungswert vom Spiel:

μ = 1/6 × 1 € + 1/6 × 2 € + … + 1/6 × 6 € = 3,50 €.

Würde ein Spiel zu einem Preis von insgesamt 3 € angeboten, liegt ein höherer Erwartungswert nahe, welchen man als risikoneutraler Spieler eingehen kann.

Der Erwartungswert und die Varianz

Oft aber interessiert neben dem Erwartungswert eine dazugehörige Varianz oder auch die daraus ableitbare Standardabweichung.

In einem Beispiel vom Münzwurf beträgt eine Varianz:

0,5 × (1 Euro – 0,50 Euro)2 + 0,5 × (0 Euro – 0,50 Euro)2 = 0,5 × 0,25 + 0,5 × 0,25 = 0,25.

Die Standardabweichung als Quadratwurzel der Varianz ist dann 0,5 (Euro).
Ein Erwartungswert beim einmaligen Münzwurf ist 0,50 Euro, eine Standardabweichung beträgt so 0,50 Euro.

Dies bedeutet: man kann bei dem Münzwurf mit einem Gewinn von gesamt 0,50 Euro rechnen, allerdings ist eine mögliche Schwankungsbreite 0,50 Euro, geht sie nach unten, so erhält man nichts oder aber sie geht nach oben, so erhält man dann 1 Euro.

Eine Varianz vom Erwartungswert kann mit einem Verschiebungssatz berechnet werden.

Ein Erwartungswert im Vergleich zum Mittelwert

Ein Erwartungswert ist eng mit einem gewichteten arithmetischen Mittelwert verwandt; letzter bezieht sich auf aktuelle vorliegende, also in der Vergangenheit erhobene Werte. Während dieser Erwartungswert sich dann auf künftige Ergebnisse bezieht.

Im Gegensatz zu den oberen Beispielen, wo die Wahrscheinlichkeiten bekannt sind, müssen diese Ergebnisse dann teilweise in der Praxis oft geschätzt werden.

Angenommen wird nun eine Unternehmensanleihe mit seinem Nominalbetrag von 1.000 €, notiert aber an der Börse gerade nur mit 600 €.

Die AG, welche die Anleihe herausgegeben hat, ist gerade in finanziellen Schwierigkeiten. Diese schätzen eine Wahrscheinlichkeit, dass ihre Firma Insolvent wird, mit 30 % ein. Der Umkehrschluss ist, dass zu 70 % die Firma überlebt. Die Firma zahlt dann die 1.000 € zurück und wir gehen für so einen Fall von einer Insolvenzquote, welche 20 % ist, aus. Hier würde diese Firma von den einst 1.000 € nur noch 200 € zurückzahlen.

Ein Erwartungswert ist nun: μ = 30 % × 200 + 70 % × 1.000 = 60 + 700 = 760.

Ein Erwartungswert ist mit seinen 760 € höher als sein Börsenpreis von 600 €. Aber diese Berechnung beruht auf 2 subjektiven Annahmen.