e-Funktion Ableitungen leicht erklärt + Beispiele & Video

Dieser Abschnitt beschreiben wir wie die eine e Funktion am einfachsten abgeleitet wird und für welche Formeln wir diese Ableitung brauchen.
Wir erklären euch welche Ableitungsregel ihr braucht und zeigen euch anhand einiger Beispiele, wie diese Ableitungsregel am besten angewendet werden.

Dieser Abschnitt ist Teil der Kategorie Mathematik

Die Funktionen mit der Zahl e, die als Eulersche Zahl benannt wurde, sind nicht so einfach abzuleiten wie andere Funktionen mit einfachen Variablen. Die Darstellung dieser Funktionen ist extrem variable, so daß ihr vorher eine möglichst straffe Formulierung für diese Funktionen braucht. Damit ihr Funktionen mit der Eulerschen Zahl ableiten könnt, braucht ihr die Kettenregel, die für die Ableitung einer E-Funktion benötigt wird.

Ableitung E-Funktion durch Kettenregel

Mit den bisherigen Ableitungsregeln, wie die Summenregel und die Faktorregel, ist es möglich, einfache Funktionen abzuleiten.

Problematisch wird es erst, wenn zusammengesetzte und Funktionen höherer Ordnung abgeleitet werden.

Eine Funktion wie zum Beispiel y = e4x abzuleiten, ist beispielsweise nur mit einer Kettenregel möglich. Man braucht für diesen Rechenschritt die Substitution.

Kettenregel:

Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion höherer Ordnung erhalten wir als Produkt aus äußeren und inneren Ableitungen.

Damit die Kettenregel überhaupt angewendet werden kann, sind einige Bedingungen notwendig. Wir stellen nun ein typisches Beispiele vor, wir mit der Anwendung verschiedener Kettenregel die Ableitung einer e Funktion gebildet wird. Dabei werden zunächst die Rechenweg anhand verschiedener Erläuterungen gezeigt.

Beispiel 1:

• y = e^x

• y‘ = e^x

Die Ableitung von ex ist ex. Die Kettenregel ist nicht notwendig.

Beispiel 2:

• y = e^2x

• Substitution: u = 2x
• Äußere Funktion = e^u
• Äußere Ableitung = e^u
• Innere Funktion = 2x
• Innere Ableitung = 2
• y‘ = e^u · 2
• y‘ = e^2x · 2

In diesem Fall wird der Exponent der e Funktion substituiert. Anschließend werden die innere und äußere Funktion markiert und abgeleitet. Es folgt als nächster Punkt eine Produktbildung aus innerer mal äußerer Ableitung. Sind wir dann am Ende dieser Ableitung muss noch eine Rücksubstitution statt finden.

Beispiel 3:

• y = e^{4x + 2}
• Substitution: u = 4x + 2
• Äußere Funktion = e^u
• Äußere Ableitung = e^u
• Innere Funktion = 4x + 2
• Innere Ableitung = 4
• y‘ = e^u · 4
• y‘ = e^{4x + 2} · 4

In diesem Fall wird einer der Exponenten substituiert. Anschließend werden die inneren und äußeren Funktionen ermittelt und abgeleitet. Es folgt dann die Produktbildung aus innerer mal äußerer Ableitung. Diese Rechnung ist dann fertig, wenn die Rücksubstitution statt gefunden hat.

Beispiel 4:

• y = e^x · x⁵
• y‘ = e^x · x⁵ + 5x⁴ · e^x

Mit Produkt- und Kettenregen wird die Funktion dann abgeleitet.

Anatoli Bauer

Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)