Cosinus berechnen - Formel, Beispiele & Tipps

Der Cosinus ist eine Winkelfunktion wie der Sinus sowie der Tangens. Wer den Dreh raus hat, die Winkelfunktionen, wie den Cosinus auszurechnen, wird kurzerhand viel Spaß an den Berechnungen haben. Es ist kein Hexenwerk, sondern leicht erlernbar. Zum Berechnen eines Cosinuswinkels, wie ebenso der Sinus und der Tangens, darf nur an einem rechtwinkligen Dreieck angewandt werden.

Der Cosinus ist eine Winkelfunktion wie der Sinus sowie der Tangens. Wer den Dreh raus hat, die Winkelfunktionen, wie den Cosinus auszurechnen, wird kurzerhand viel Spaß an den Berechnungen haben. Es ist kein Hexenwerk, sondern leicht erlernbar. Zum Berechnen eines Cosinuswinkels, wie ebenso der Sinus und der Tangens, darf nur an einem rechtwinkligen Dreieck angewandt werden.

Die Geschichte des Cosinus

Der Begriff „Cosinus“ ergibt sich aus „complementi sinus“. Sinus ist der Komplementärwinkel. Die Bezeichnungen wurden in den trigonometrischen Tabellen verwendet. Georg von Peuerbach sowie sein Schüler Regiomontanus erstellt diese.

Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse

Zu Beginn ist es unabdingbar, dass ein paar Begriffe eingeprägt werden sollten. Diese Begriffe tauchen immer wieder auf. Wenn ein Dreieck gezeichnet wurde, befindet sich beispielsweise links unten ein Winkel, welche „a“ (Alpha) genannt wird. „a“ wird als Gegenkathete bezeichnet. Sie liegt gegenüber einem Winkel. Die Seite „b“ ist die Ankathe, welche direkt am Winkel liegt. Die Seite „c“ wird als Hypotenuse bezeichnet.

Die strukturierte Berechnung

Die Formel für den Cosinus lautet: cos alpha = Ankathete : Hypotenuse. Für Alpha wird ein direkt in Grad gesetzt; dies wären beispielsweise 45 Grad. Die Ankathetelänge sowie die Hypotenuselänge werden in gleiche Einheiten gesetzt. Damit im Taschenrechner das richtige Ergebnis ersichtlich werden kann, sollte zuvor auf „Degree“ eingestellt werden.

Die Ankathete hat eine Länge von 3 cm (b = 3 cm) und die Hyptenus hat eine Länge von 5 cm (c = 5 cm). Wie groß ist nun der Winkel? Es wird mit dem Taschenrechner gerechnet: cos = b : c, somit wird eingetragen cos = 3 cm : 5 cm. Für den nächsten Rechenschritt wird arccos benötigt. Arccos ist die eingeschränkte Umkehrfunktion des Cosinus und gehört zur Klasse der Arkusfunktion. Cos = 0,6 / arccos. Entsprechend lautet das Endergebnis 53,13 Grad.

Mit dem Cosinus lässt sich somit rechnen, wenn zwei der drei vorhandenen Größen, Winkel, Hypotenuse und Ankathete angegeben sind und die dritte Größe gefunden werden muss. So wird außerdem mit der Sinusberechnung ebenso vorgegangen, nur mit der Ankathete und nicht mit der Gegenkathete.

Kurz zusammengefasst

Ein rechtwinkliges Dreieck besteht aus Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete. Die drei wichtigsten trigonometrischen Funktionen sind Sinus, Cosinus und Tangens. Das Verhältnis von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck ist abhängig von dem spitzen Winkel.

Die Ankathete ist diejenige Kathete, welche zusammen mit der Hypotenuse den Winkel „Alpha“ einschließt. Automatisch wird der gegenüberliegende Winkel zur „Gegenkathete“. Die Ankathete wird mit einem „b“ dargestellt, die Gegenkathete mit einem „b“ und die Hypothenuse mit einem „c“.

Ein Beispiel: Der Cosinuswinkel für die Bildung des Einheitskreises ist die X-Koordinate des zugehörigen Punktes P auf dem Einheitskreis. Somit ist die Cosinusfunktion die eindeutige Zuordnung, welche jedem Winkel die X-Koordinate des zugehörigen Punktes auf dem entsprechenden Einheitskreis zuordnet.

Man zeichne den Einheitskreis mit einem Punkt P auf dem Kreis, das rechtwinklige Dreieck und den Winkel Alpha. Der Cosinus von Alpha ist gleich Ankathete durch Hypotenuse. Die Hypotenuse des Dreiecks ist 1, weil der Radius des Einheitskreises 1 ist. Der Cosinus von Alpha ist gleich der Länge der Ankathete. Das ist der X-Wert von P. Zu jedem beliebigen Winkel kann von der X-Achse den Cosinus des Winkels ablesen. Dies gilt genauso für größere Winkel.

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