Äquivalenzumformung mit Brüchen – so gehts die rechnungen ergeben keinen sinn

Äquivalent sind zwei Gleichungen, wenn sie die selbe Lösungsmenge haben.

Durch Äquivalenzumformung können Gleichungen verändert werden, ohne ihre Lösungsmenge zu verändern. Äquivalenzumformungen können also genutzt werden, um Gleichungen zu lösen. Man sagt an dieser Stelle, dass die Variable mit Hilfe der Umformungen isoliert wird, oder dass die betreffende Gleichung nach Ihrer Variablen sozusagen „aufgelöst“ wird. Die folgenden Umformungen verändern jedoch die Lösungsmenge der Gleichung nicht. Es sind demnach Äquivalenzumformungen:

• Addition bzw. Subtraktion mit der gleichen Zahl oder mit dem gleichen Term auf beiden Seiten einer Gleichung.
• Multiplikation auf beiden Seiten mit einer beliebigen Zahl außer Null.
• Division auch auf beiden Seiten mit einer beliebigen Zahl außer Null.

Auch eine beidseitige Termvereinfachung, wie beispielsweise das Auflösen von Klammern oder das Zusammenfassen von gleichartigen Termen, verändert die Lösungsmenge einer Gleichung nicht.

Bei einem schrittweisen Lösen der Gleichung durch Äquivalenzumformungen wird jeder Umformungsschritt hinter einem senkrechten Strich am Ende der Gleichung angegeben.

7+4x=21+2x         /-2x
7+4x-2x=21+2x-2x
7+2x=21

Auf beiden Seiten verändert sich also der Term mit x. Auf der linken Seite wurde der Term 4x zu 2x und auf der rechten Seite ist der Term 2x gänzlich weggefallen. Terme ohne x werden nicht verändert.

Wie im oberen Beispiel können auch Gleichungen mit Brüchen durch Äquivalenzumformung gelöst. Vorerst muss jedoch die Definitionsmenge bestimmt werden. Die Grundmenge ist immer IR, falls nicht etwas anderes angegeben wurde. Die Definitionsmenge beinhalte demnach die Variabelenwerte, für welche die Gleichung Gültigkeit hat.

Um die Definitionsmenge zu bestimmen, muss man herausfinden, bei welchen Variablenwerten der Nenner Null sein wird. Bestimmen muss man also die Nennernullstellen. Die Werte der Nennernullstellen sind nicht Teil der Definitionsmenge.

5+x= 6 ⇒D = IR⧵2
x-2

5+x= 6 |(x-2)
x-2

5x+2=6(x-2)
5x+2=6x-12 |-5x+12
2+12= 6x-5x
14 = x

De Äquivalenzbildung ist auch bei zwei Nennern möglich. Es gibt zur vereinfachten Lösung aber auch Tricks.

1.Die Kehrwertbildung: Dieser Trick hilft wenn der Zähler nur aus Zahlen besteht.
2 4
____ = _____ D=IR∖+2+1
x-2 x-1

x-2 x-1
___ = ___ HN = 4 |*2
2 4

2x-4 x-1 |*4
____ = ___
4 4

2x-4 = x-1 | -x +4

2x-x = -1+4

x = 3

2.Die Berechnung kann mit der Kreuzweisen Multiplikation mit den beiden Nennern auch verkürzt werden.
2 4
____ = ____
x-2 x-1 D=IR∖+2+1
4(x-1)=2(x-1)
4x-4=2x-2 |-2x+4
4x-2x=4-2
2x=2
x=1
L={2}