Additionssatz in Statistik leicht erklärt + Beispiel

Ein Additionssatz

Nach einem allgemeinen Additionssatz für die Wahrscheinlichkeiten, berechnet sich so eine Wahrscheinlichkeit, dass nun von zwei Ereignissen mindestens eines eintritt, mit der folgenden Formel (P für die Wahrscheinlichkeit):

P (A und, oder auch B) = P (A) + P (B) – P (A und B)

Das ist in Worten: Eine Wahrscheinlichkeit, dass A oder auch B oder einfach nur beide zusammen eintreten ist gleich einer Summe aus Wahrscheinlichkeiten für A und auch B abzüglich einer Wahrscheinlichkeit, dass A sowie B zusammen auftreten.

Beispiel für eine Addition von Wahrscheinlichkeiten

Laut einer Wetterprognose:

• oll es nun am Samstag mit der Wahrscheinlichkeit von 50 % schneien,
• aber am Sonntag mit der Wahrscheinlichkeit von sogar 80 % und
• mit der Wahrscheinlichkeit von nur 40 % soll es dann an beiden Wochenendtagen schneien.

Wie groß ist nun eine Wahrscheinlichkeit, dass es dann am Wochenende wenigstens einmal schneit?
Nun kann man als Ereignisse definieren:

• A: es wird am Samstag schneien
• B: es wird am Sonntag schneien

Dann ist das so: P (A und, oder auch B) = P (A) + P (B) – (P und auch B) = 0,5 + 0,8 – 0,4 = 0,9.

Chancen, dass es nun am Wochenende, zumindest einmal schneien wird, liegen bei 90 %.

Der Additionssatz bei den disjunkten Ereignissen

Dabei handelt es sich um eine Berechnung, wenn beide Ereignisse nicht disjunkt sind, also wenn sie sich nicht ausschließen, Beispiel, das Schneien am Samstag schließt ein erneutes Schneien am Sonntag nicht ganz aus. Im einem Fall von disjunkter Ereignisse würde man einfach die einzelnen Wahrscheinlichkeiten aufaddieren:

also P (A oder auch B) = P (A) + P (B).

Die Kontrollrechnung

Eine Wahrscheinlichkeit, dass es nur Samstags schneien wird, liegt bei 0,5 × 0,2 = 0,1, dass heißt die 50 % – Wahrscheinlichkeit, dass es dann am Samstag schneit multipliziert sich mit der 20 % Wahrscheinlichkeit, dass es am Sonntag nicht schneit).

Eine Wahrscheinlichkeit, dass es dann nur am Sonntag schneit liegt bei 0,5 × 0,8 = 0,4, das heißt eine 50 % Wahrscheinlichkeit, dass es dann am Samstag nicht schneit multipliziert mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 %, dass es dann Sonntag schneit.

Eine Wahrscheinlichkeit, dass es nun an beiden Tag schneit ist 0,4.
Diese drei Wahrscheinlichkeiten werden nun aufaddiert:

P (A und, oder auch B) = 0,1 + 0,4 + 0,4 = 0,9.

Der Additionssatz bei den unabhängigen Ereignissen

Sind nun beide Ereignisse A und auch B voneinander unabhängig, kann ein Additionssatz wie folgt geschrieben werden:

P (A und, oder auch B) = P (A) + P (B) – P (A) × P(B).

Ein Beispiel für einen Additionssatz bei den unabhängigen Ereignissen

Nun wird 2 x gewürfelt. Das Ereignis A, ergibt eine 6 beim ersten würfeln und B ergibt eine 6 beim zweiten würfeln, diese Würfe sind aber voneinander unabhängig.
Wie hoch ist nun eine Wahrscheinlichkeit, dass nun mindestens einmal die 6 gewürfelt wird?

P (A und, oder B) = P (A) + P (B) – P (A) × P(B) = 1/6 + 1/6 – 1/6 × 1/6 = 2/6 – 1/36 = 12/36 – 1/36 = 11/36.