Wie verwende ich den Ableitungsrechner?
In die obere Zeile gibst du ein, welche Ableitung zu ausgerechnet haben möchtest. ( Die 1., die 2. usw.)
In die zweite Zeile gibst du entweder deine Funktion ein oder eine deinen Ausgangsvariablen wie zum Beispiel “x” oder “x^2” und danach drückst du auf “Submit”. Unten wird dir dann das Ergebnis angezeigt.
In diesem Artikel werden wir das Thema Ableitungen von Variablen behandeln. Wir sagen Dir, wie Du unter anderem eine Ableitung von einer Variablen X bilden kannst. Des Weiteren werden wir Dir zeigen welche Besonderheiten es gibt und aufwas Du alles achten musst.
Des Weiteren wirst Du unter unserem Artikel eine Tabelle vorfinden, welche wichtige Ableitungsregeln für bestimmte Therme beinhaltet. Daneben wirst Du hier auch einen Online-Ableitungsrechner vorfinden. Dieser ermöglicht es Dir Terme direkt auf der Seite abzuleiten.
1. Frage: Was sind eigentlich Ableitungen und wofür werden sie benötigt?
Sollte man eine Ableitung bilden, hat man dadurch die Möglichkeit zu sehen, wie sich der Graph einer Funktion verhält, sofern dieser denn gegen X0 läuft. So kann man mit der ersten Ableitung zum Beispiel die Steigung des Graphen berechnen.
Mit der zweiten und dritten Ableitung kann man dann noch weitere Dinge berechnen. Mit diesen kann man Extrempunkte und Wendepunkte innerhalb der ganzen Funktionsuntersuchung berechnen
2. Frage: Wie kann man denn die Ableitung berechnen?
Man kann immer nach dem selben Schema vorgehen, sollte man einen Term nach einer Variablen X ableiten wollen. Es spielt dabei überhaupt keine Rolle welche sonstigen Variablen im Ausdruck sind. Zunächst einmal musst Du vorher eine Variable festlegen (zum Beispiel X). Von dieser vorher festgelegten Variablen leitest Du dann immer ab. Anschließend kannst Du dann die anderen Variablen als gewöhnliche Zahl betrachten. Es gibt mehrere Ableitungsregeln – in der Zahl drei – die Du beachten musst, wenn Du nach X ableiten möchtest:
- Du musst den Faktor vor der Variablen, mit der Du arbeitest, mit der Potenz der Variablen multiplizieren. Danach musst Du die Variable um -1 verringern.
- Sollte hinter der Variablen die Potenz gleich 1 sein oder sollte es gar keine Potenz geben, fällt die Variable weg.
- Beim Ableiten fällt eine einzelne Zahl ohne jegliche Variablen komplett weg.
Die Umkehrregel
Als erstes solltest du natürlich wissen, was die Umkehrregel überhaupt ist. Das möchte ich anhand von ein paar Beispielen genauer erläutern. Aber erst einmal zeige ich euch die allgemeine Gleichung.
Umkehrregel Gleichung:
Wenn eine umkehrbare Funktion der Form y = f(x) vorliegt und gleichzeitig x = g(y) die nach x umgeformte Darstellung dieser Funktion dann kommt diese Formel dabei raus:
Und natürlich darf auch hier der Nenner nicht null ergeben.
Damit du die Umkehrregel auch richtig verstehst und richtig einsetzt, musst du folgende Schritte beachten:
- du schreibst dir y = f(x) auf
- du leitest f(x) ab und dann erhältst du y = f(x)
- du stellst du f(x) nach x um
- du setzt in die Gleichung f(x) ein
- du ersetzt den Ausdruck von f(x) durch y
- du vertauscht x und y
3.: Ableitungsrechner
Des Weiteren kannst Du unseren Online-Rechner hier direkt oben im Artikel nutzen. Bei diesem musst Du lediglich die Funktion, die abgeleitet werden soll, eingeben. Anschließend musst Du einfach angeben welche Ableitung gebildet werden soll.
Ableitungen berechnen – Übungsaufgaben!
1. Beispiel
Gegeben sei die Funktion y = f(x) = eͯ und gesucht ist die Ableitung der Umkehrfunktion.
- – Im ersten Schritt schreibst du natürlich erst einmal die Aufgabe ab und leitest die Funktion für den zweiten Schritt ab.
- – In diesem Beispiel ist die Ableitung von eͯ nicht schwer, da die Ableitung von eͯ wieder eͯ ist.
- – Im dritten Schritt löst du y = eͯ nach x auf. Um das zu machen brauchst du den natürlichen Logarithmus. Den Logarithmus musst du an beiden Seiten anwenden. Wenn du das gemacht hast erhältst du x = In(y).
- – Im nächsten Schritt setzt du in die Gleichung für f(x), eͯ ein. Genauso wie im zweiten Schritt. Dadurch bekommt die Gleichung g(y) = 1 durch eͯ heraus.
- – In Schritt 5 kannst du ganz einfach für eͯ, y einsetzten.
- – Im sechsten und letzten Schritt tauschst du einfach y durch x aus und dadurch erhältst du die Ableitung der Umkehrfunktion durch die Anwendung der Umkehrregel. Falls du das jetzt noch nicht verstanden hast, ist es hier noch einmal ausführlicher erklärt:
1) y = f(x) = eͯ
2) y = f(x) = eͯ
3) x = lny
4) g(y) = 1/f(x) = 1/eͯ
5) g(y) = 1/y
6) g(x) = 1/x
2. Beispiel
Gegeben ist die Funktion y = f(x) = tan x und gesucht ist nun die Ableitung der Umkehrfunktion.
- – Bei diesem Beispiel erhältst du die Ableitung zu f(x) = tan²x + 1, die du ganz einfach in der Formelsammlung finden kannst.
- – Dann stellst du y = tan x nach x um und erhältst dann x = arctan(y).
- – In dem vierten Schritt gehst du in die oben genannte Formel.
- – Als nächstes Schritt kannst du aus tan²x, y machen.
- – Im letzten Schritt tauschst du wieder y durch x aus.
1) y = f(x) = tanx
2) y = f(x) = tan²x + 1
3) x = arctan (y)
4) g(y) = 1/tan²x + 1
5) g(y) = 1/y2 + 1
6) g(x) = 1/x² + 1
Ich hoffe du hast die Umkehrregel jetzt ein wenig verstanden und hast keine Probleme mehr im Unterricht. Allerdings lernt man die Umkehrregel nur in einigen Bundesländer. In anderen Bundesländer lernt man das erst in der Ausbildung, im Beruf oder im Studium.
Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)
