In folgendem Artikel erläutern wir die Ableitung von ln x. Dazu ist es notwendig, die so genannte „Kettenregel“ zu beherrschen, die wir euch ebenso erklären. All dies machen wir zum besseren Verständnis anhand einiger Beispiele.
Bevor wir zur Erklärung der Kettenregel kommen, möchten wir hier noch kurz die Darstellung von ln-Funktionen ansprechen. Im Internet lassen sich viele verschiedene Formen (zum Beispiel „Ableitung ln x“, „Ableitung ln 1x“, „x lnx-Ableitung“ etc.) finden. Wir verwenden hier der einfacheren Übersicht halber Latex.
Ableitung von ln-Funktionen mittels Kettenregel
Mit den bisher kennengelernten Ableitungsregeln für simple Funktionen kommen wir bei der Ableitung von zusammengesetzten Funktionen nicht weiter. So muss beispielsweise bei ln-Funktionen die Kettenregel angewandt werden. Dabei wird eine sogenannte Substitution durchgeführt. Was dies genau bedeutet, erklären wir weiter unten. Zunächst jedoch das Grundprinzip:
Kettenregel: Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion erhält man durch Multiplikation der inneren mit der äußeren Ableitung.
Die korrekte Anwendung der Kettenregel erfordert einiges an Erfahrung und Praxis. Schüler haben daher erfahrungsgemäß zu Anfang Probleme zu erkennen, wann sie angewandt werden muss. Im Folgenden geben wir euch einige Beispiele zur Anwendung der Kettenregel bei ln-Funktionen. Zunächst zeigen wir jeweils den Rechenweg und darunter wird dieser dann erläutert.
1. Beispiel: ln x
Zur Ableitung der Funktion ln x ist die Kettenregel noch nicht nötig. Sie wird lediglich einer Ableitungstabelle entnommen.
2. Beispiel: ln 3x
Zur Bildung der Ableitung der Funktion ln 3x ist es notwendig, die Kettenregel anzuwenden. Zunächst wird die innere Funktion durch die Variable „u“ substituiert (=ersetzt) und abgeleitet. Anschließend wird die äußere Funktion durch die Variable „v“ substituiert, abgeleitet und schließlich mit der abgeleiteten inneren Funktion multipliziert.
3. Beispiel: ln ( 2x + 5 )
Zur Ableitung von ln ( 2x + 5 ) ist wiederum die Anwendung der Kettenregel notwendig. Zuerst werden abermals die innere und die äußere Funktion substituiert und abgeleitet. Im zweiten Schritt muss schließlich das Produkt dieser beiden Ableitungen ermittelt werden.
Online Ableitungsrechner
Hier noch ein Online Ableitungsrechner für euch:
Ableitungen berechnen – Übungsaufgaben!
Hat Wirtschaftswissenschaften an der Universität Kassel studiert.
Einzelunternehmer seit Mai 2006 & Chefredakteur von mehreren Webseiten
Geschäftsführer & Gesellschafter der Immocado UG (haftungsbeschränkt)
