Ableitung: Kettenregel mit Formeln, Beispielen, Tipps & Video

In folgendem Abschnitt erklären wir euch, wie Funktionen abgeleitet werden. Genauer gesagt beschäftigen wir uns mit der sogenannten „Kettenregel“ zur Ableitung zusammengesetzter Funktionen.

Solltet ihr mit den Grundlagen der Ableitung noch Schwierigkeiten haben, empfehle ich euch, sich noch einmal mit den bisherigen Erläuterungen zu beschäftigen. Solltet ihr die Basics schon beherrschen, beginnt mit dem Lesen der Erklärung der Ableitung verschachtelter Funktionen:

Anwendung der Kettenregel

Mit dem Wissen der vorhergegangenen Regeln lassen sich simple Funktionen ableiten. Wie aber leitet man zusammengesetzte Funktionen wie y = sin ( 2x + 4 ) oder y = e^-3x ab? Dazu verwendet man die Kettenregel, die mit Hilfe einer sogenannten Substitution (latein für „Ersetzung“) arbeitet. Die Erklärung, was man genau darunter versteht, folgt weiter unten. Zunächst hier einmal die Kettenregel ausformuliert:

Kettenregel: Die Ableitung einer zusammengesetzten bzw. verschachtelten Funktion ergibt sich aus der Multiplikation von äußerer und innerer Ableitung.

Die Anwendung der Kettenregel ist für viele Schüler oftmals auf den ersten Blick nicht gleich ersichtlich. Es erfordert Erfahrung und Praxis, um herauszufinden, wann sie verwendet werden muss. Im Folgenden gebe ich euch einige Beispiele zur Ableitung mittels Kettenregel. Ich zeige dabei die Rechenwege und erläutere diese darunter durch ausführliche Erklärungen.

1. Beispiel: y = ( 5x – 3 )⁴

• Substitution: u = 5x – 3
• Äußere Funktion: u⁴
• Äußere Ableitung: 4u³
• Innere Funktion: 5x – 3
• Innere Ableitung: 5
• y‘ = 4u³ · 5 = 20u³
• mit u = 5x – 3 => y‘ = 20 ( 5x – 3)³

Hier nun die Erklärung: Zunächst ersetzen wir den Ausdruck ( 5x – 3 ) durch den Buchstaben „u“ (=Substitution). Danach suchen wir die innere und äußere Funktion und leiten sie jeweils ab. Anschließend wird das Produkt aus diesen beiden Ableitungen gebildet. Schließlich wird die Variable „u“ wieder mit dem ursprünglichen Ausdruck substituiert.

2. Beispiel: y = 3 · sin ( 2x )

• Substitution: u = 2x
• Äußere Funktion: 3 · sin ( u )
• Äußere Ableitung: 3 · cos ( u )
• Innere Funktion: 2x
• Innere Ableitung: 2
• y‘ = 2 · 3 · cos ( u )
• mit u = 2x => y‘ = 6 · cos ( 2x )

Hier wird ebenfalls der Klammerausdruck durch die Variable „u“ ersetzt. Anschließend werden innere und äußere Funktion ermittelt und abgeleitet. Die Ableitung der gesamten Funktion ergibt sich schließlich aus der Multiplikation der Einzelableitungen sowie einer Rücksubstitution.

3. Beispiel: y = e^{2x + 3}

• Substitution: u = 2x + 3
• Äußere Funktion: e^u
• Äußere Ableitung: e^u
• Innere Funktion: 2x + 3
• Innere Ableitung: 2
• y‘ = e^u · 2
• mit u = 2x + 3 => y‘ = e^{2x + 3} · 2

Im letzten Beispiel wird der Exponent substituiert. Anschließend werden wie immer die beiden Funktionen abgeleitet, mit einander multipliziert und schließlich wieder ersetzt.