1. & 2. Strahlensatz einfach erklärt – Beispiele & Formeln

Die Strahlensätze haben den Nutzen Entfernungen zwischen Punkten zu bestimmen.
Was man darunter verstehen darf und wie der 1.Strahlensatz und der 2.Strahlensatz funktioniert, wird euch hier Anhand von Beispielen und Grafiken verdeutlicht.

Wie in der Einleitung schon angedeutet wird, dient der Strahlensatz als Mittel um Längen von bestimmen Strecken zu bestimmen. Hierbei wird sich das Wissen der Geometrie zu Nutzen gemacht. Wir fokussieren uns in diesem Artikel weniger auf die Herleitung des Strahlensatzes, als auf die Anwendung und beschränken die Herleitung somit auf ein Mindestmaß.

Die Schule verlangt in erster Linie die Anwendung des 1. und 2. Strahlensatzes, bedeutet also:

Bestimmte Längen und Entfernungen werden angegeben und mit diesen Vorgaben muss nun eine andere Strecke berechnet werden.
Die Schwierigkeit besteht weniger darin den Strahlensatz anzuwenden, als eher zu erkennen, dass der Strahlensatz angewendet werden darf.
Für diejenigen, die das Umstellen von Gleichungen oder die Grundlagen der Geometrie noch nicht beherrschen, empfiehlt es sich erstmal Grundlagen in diesen Bereichen anzueignen.

1.Strahlensatz

Die Mathematik bietet uns zwei verschiedene Strahlensätze.
Beginnen wir nun mit dem 1.Strahlensatz.
Dazu betrachtet ihr bitte nun folgende Graphik.
Die Entstehung dieser Graphik wird nachfolgend genauer erklärt.

Wie entstand dieses Bild?

• Wir haben einen Punkt, den wir S nennen, eingezeichnet
• Ausgehend von Punkt S haben wir zwei nicht-parallele Strahlen, S1 und S2 genannt, gezeichnet
• Punkt A1 wird durch eine vertikale Gerade mit B1 verbunden, ebenso wie A2 und B2

Nun erklären wir, wie ihr den 1.Strahlensatz benutzen könnt.
Im Folgenden seht ihr die Verhältnisformeln.
Um es kurz zu erläutern:
|SB2| ist eine Längenangabe. In diesem Fall die Entfernung zwischen dem Punkt S und dem Punkt B2. |SA1| wäre in dem Fall die Entfernung zwischen den Punkten S und A1. |A1A2| ist die Entfernung zwischen A1 und A2.
Nun die Formeln vom 1.Strahlensatz.

Formeln 1.Strahlensatz

• |SA1| : |SA2| = |SB1| : |SB2|
• |SA1| : |A1A2| = |SB1| : |B1B2|
• |SA2| : |A1A2| = |SB2| : |B1B2|

Beispiel

Der Abstand zwischen S und A1 beträgt 6,8cm, der von S zu A2 ganze 12,0cm.
Von S zu B1 ergibt sich ein Abstand von 7,6cm Entfernung.
Wie groß ist nun |SB2|?

Lösung

• |SA1| = 6,8cm
• |SA2| = 12,0cm
• |SB1| = 7,6cm
• Füllen wir die Formel: |6,8| : |12,0| = |7,6| : |SB2|
• 1.Vorgang 0.567 = 7,6 : |SB2|
• 2.Vorgang 0.567 x |SB2| = 7.6
• 3.Vorgang |SB2| = 7.6 : 0,567
• 4.Vorgang |SB2| = 13.4cm

Wir entnehmen der Aufgabenstellung erst alle Informationen, fügen sie in die Gleichung des 1.Strahlensatzes ein und stellen diese Gleichung nun nach der Unbekannten um.
Auf diese Weise erhalten wir die gesuchte Entfernung.

2.Strahlensatz

Mit dem 2.Strahlensatz können wir erfahren wie das Längenverhältnis von A1B1 zu A2B2 ist.
Hier eine Graphik zur Verdeutlichung.

Wie entstand dieses Bild?

• Erneut wurde ein Punkt S eingezeichnet
• Wir zeichneten zwei, nicht parallele Strahlen ein, mit der Bezeichnung S1 und S2
• Nun wurden zwei vertikale Geraden eingezeichnet. Die erste schneidet die Punkte A1 und B1, die zweite A2und B2.
• Die Parallele zu S1 wird g genannt. Sie wird so gezeichnet dass sie durch A1 hindurchgeht.
• Der Schnittpunkt von g mit B2A2 wird C genannt

Formeln 2.Strahlensatz

• |A1B1| : |A2B2| = |SA1| : |SA2|
• |A1B1| : |A2B2| = |SB1| : |SB2|

Strahlensatz – Anwendung

Bei diesem Beispiel soll die Höhe des Turms berechnet werden.
Hier nun die Graphik.

Die Längen t, a und b sind bekannt.
Zwischen a und t besteht ein rechter Winkel.
Berechne nun mithilfe der Strahlensätze die Höhe des hier eingezeichneten Turms.
Angaben: a entspricht 2m, b 3m und t 20m.
Bestimme nun h.

Lösung

• a entspricht A1B1
• h entspricht A2B2
• b entspricht SA1
• t entspricht SA2
• Füge nun in folgende Gleichung ein: |A1B1| : |A2B2| = |SA1| : |SA2|
• Folgend: 2 : h = 3 : 20
• Folgend: h= 13.33

Der Turm ist 13.33 Meter hoch.